Mathématiques II 2004 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC
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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.
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ESSEC 2004, math 2, option scientifique Notations Danstoutleproble`me,nigned´estierunenerslanutiruepue´alegu´ro2.`a On noteEn={1,2, . . . , n}=[1, n]] et Ω l’ensemble des permutations deEn. Pour tout ensemble finiA, on note Card(Anoacs)-`a-’estal,crdinesederbmonelerids.ntme´eels´ ( n! n ksi 06k6n On note, ou Cle nombre nk!(n−k)! k 0 sinon Partie I Pour toutω∈Ω, on appellepoint fixedeωtuot,neme´le´tk∈Entel queω(k) =k. On appellemee´ganrtndetoute permutationω∈Ω telle que pour toutk∈En,ω(k)6=k. Ainsi unde´rangementestunepermutationsanspointfixe. On noteDn,0={ω∈Ω/∀i∈En, ω(i)6=i}, et pour toutk∈En Dn,k={ω∈Ω/ωadmet exactementkpoints fixes} Enfin, on notedn,0= Card(Dn,0) et pour toutk∈En, dn,k= Card(Dn,k). 1)Montrer que [ Dn,k=ω∈Ω/ω|I=Idetω|En\Iare´dnutsetenemng I⊂E n Card(I)=k ou`ω|Iest la restriction de la permutationω`aI,Idese´letnrperontienideraptamuete,t´ti ω|En\Iest la restriction de la permutationω´lmeocpmrideneateauI. n 2)opeuotrutundEdu´eeqirk∈En,dn,k=dn−k,0. k 3)a)Soitω∈Ωnu´dreedtnemegnaEn. Soitj∈[1, n´end.O]]ntaoilpci’lpanfitiωfjsurEn+1par ω(k) sik6∈ {j, n+ 1} ωfj(k) =nsi+ 1k=j ω(j) sik=n+ 1 Montrerquel’ond´efinitainsiund´erangementdeEn+1. b)Soitω∈Ω admettant un unique point fixej∈[1, n]]. Montrer queωfjtesusedssci-ie´nfid und´erangementdeEn+1. c)erqreueldse´argnetmneonMtsdeEn+1construits dans les questions 3.a) et 3.b) sont distincts,etquetoutd´erangementdeEn+1coa¸n.teˆtuepnuteobreefttcede d)d´Enuieduqeredn+1,0=ndn,0+dn,1=n(dn,0+dn−1,0). 4)Pour toutn>2, on poseun=dn,0−ndn−1,0 a)ete´Derrminun+1en fonction deun, puisunen fonction den. n b)´endirduueeqEdn,0=ndn−1,0+ (−1) . dn,0 c)On posev1= 0 et pourn>2,vni=nrmte´eD.ervnen fonction den, puis montrer que n! k n X (−1) dn,0=n! k! k=0
Partie II Afindelancerunnouveauproduitsurlemarche´,leservicemarketingd’uneentreprisepropose audirecteurge´ne´rallacampagnesuivante •mettre en vente au prix unitaire debEuros,nexemplaires du produit, •´torfedeoc¸appanenard’tenounrembcahuqeeexmplaireseranum´et1erentserimpcon, •m´ero,ocesundnuortnuev´echsee,¸cfacaonteediu,trpdoerudplaiexemaquedechrueire´tni’la`
•aceluifigentique`runa`tadrueire´pmexe’lenneuirlaidro´eum’lcaruuqehetuveritro’inta`al l’exte´rieurgagneraBEuros. Onsupposequelesnume´roscach´essonttousdiffe´rents,comprisentre1etnet sont choisis au hasard. Avantdedonnersonaccord,ledirecteurg´ene´ralsouhaite´etudierlecouˆtd’unetellecampagne. hh ii Afindeformaliserlanotiondechoixauhasard,etpourtoutelasuiteduprobl`eme,onmunit Ω, Ppaorabib()Ωdleete`rcisedrmfonieut´liPopeinfie´duturtoA⊆Ω par Card(A) P(A) = Card(Ω) Enfin, on noteXnalavlealriaboire´eatese´rperneltnatnegedbroms.ntnaag 1)a)denEtulisinaltesr´esultatsdelamerpre`irape,eitetd´mierrlneoialXn. ´ b)lirlEtabsteanusvi´tseagilsee´ n n−nk n−i X XX X i i 1 (−1) (−1) 1 = =1 k!i!i!k! k=0i=0i=0k=0 (onjustifierademani`erepr´ecisel’interversiondesdeuxsignessommes) 2)Cal’erullcrenase´pecE(Xn) et la varianceV(Xnoiatre)alediravelbae´laXn(on pourra d’abord calculerE Xn(Xn−1) ). 3)a)’lederiotae´latuoˆecelquertronMdtnoessepeirnerturl’onporatiop´eepn´ar
Cn=nb−BXn Ende´duirelecouˆtmoyenE(Cn), ainsi que lerisquecer,a-otdyntne´aplr´’peσ(Cn). b)e`rpuovsaresa’d,seondidulas,epr´relae´´nuegrertcQuelle? 4)u’deriotae´laniaacntyaraeuetchnaelegerquontrMquisunseulproduiettsodnne´apr Gn=BYn−bo`,uYnetr`eameunstravelbai´laeotaeuivaireselointunnruoedeBperalldi 1/n´end.Egeleriudneyomniaruet.’ledehca
Partie III 1)eatoiresablesal´deseavireualustintMorqre(Xn) converge en loi vers une loi de Poisson de parame`treλ= 1. 2)Montrer que pour toutk∈En ∞ X −1i e 1(−1) P(Xn=k)−= k!k!i! i=n−k+1 ∗ 3)Soitm∈N. Montrer que ∞ ∞ X X 1 11 2 6 6 k i!m! (m+ 1)m! i=m k=0 4)´ddenEuqeiuer n −1n+2 X e 2 P(Xn=k)−6 k! (n+ 1)! k=0 5)iuavtnsePssaacsle`disnocnOontiuctrnssilere eps := 0.00001; x:= 2; k:=2; While x > eps/2 do begin x:=x*(2/k) ;k := k+1 end ; writeln(k) 2
a)On entre dans la boucleWhileavecxsoppusnO.2=es´astpesonu’eqj>1 fois dans cette boucle. Quelle est la valeur dexafoissuivante?`aenl’e´rtledeuobalelc n+1 2 b)Montrer que la suite (un)n>1raepniefid´unecrostd´nteeissatenuatmdtielemi=e (n+ 1)! que l’on calculera. c)queluired´edEnelcuobaWhileci-dessus se termine. d)ni`ereliparladerarcffi´heeLvalauer´epenes1.t1erQumargseemdengorpu-ellte-te?
Partie IV SiXdrermentfactorield’oetsraainuveano,elleomelleppeal´eabl´eerirtok>,1’lse´preceande lavariableale´atoireX(X−1). . .(X−ksoit+ 1), mk(X) =E X(X−1). . .(X−k+ 1) 1)Montrer que sik>n+ 1,alorsmk(Xn) = 0. 2)Soitk∈[0, n]]. Montrer que n−k X mk(Xn) =P(Xn−k=j) = 1 j=0 3)SoitZrmteerinevuneabliaarriotae´ltnaviuseoideunelsondPoismae`peraD.e´rt1emk(Z), pour toutk∈[0, n]]. 4)Ond´efinitdespoylˆnmose(Pk)06k6npar P0(X) = 1 Pk(X) =X(X−1). . .(X−k+ 1)sik>1 a)Montrer que la famille (Pk)06k6nforme une base deRn[Xrielectoolyndesp]soˆemvecapse, `acoefficientsre´elsdedegre´inf´erieurou´egala`n. b)´ddeiuerquenEXnetZdro’dstnemomsemeontlesmˆrek, pour toutktel que 06k6n. 5)Montrer que pour toutk∈[0, n]], il existe (a0,k, a1,k, . . . , ak,k)rel´eelstuesq k X Pj(X) k X=aj,k j! j=0 6)mriae´osucelcslaOnsitedouhaeer´esrl(lsa0,k, a1,k, . . . , ak,k). Pj(i) a)tout,pournireDe´etmrj∈[0, n]] eti∈N. j! i X i k b)Montrer que pouri∈[0, k]],i=aj,k. j j=0 ´ c)Ecrire la matriceAontiuaes.q’´edemt`syseced d)lorieseEnntcaa¸plse’lsnadtcevecapRk[Xspol]deemrsnyoˆdsdee´ler´egnfeiri´eroeuge´ula T a`kel’expressiondele’dnmorohpsiemerrape´tnese´rpe´,rircA(ectairameled´eosspantrA) dans la base canonique. T e)Montrer queAvnrees.nireosinsevnit´etdrmtesiereebl −1 f )iicreeqmuaetlraEnd´eduA.e´DislbimenterernverestiA, puis l’expression deaj,k, pour toutj∈[0, k]]. g)Donner l’expression des moments d’ordrek, (16k6n)ilreed,aeotae´lailbvaraXn. 3
