Mathématiques II 2004 Classe Prepa HEC (ECS) ENSAE

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Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.

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2004 ENSAE

A 2004 Math MP 2

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2004

´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`reMP (Dure´edel’´epreuve:4heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`repagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`reMP.

Cet´enonce´comporte6pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurd’´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilestamene´a`prendre.

L’´epreuvecomportedeuxprobl`emescompl`etementinde´pendants.

Proble`meI 2 Soitfsunoedaneﬁnis,d´elexocpmseuoeellr´rseualavn`ioctnofenurevutUdu planR,deux fois continuˆmentde´rivable;lelaplaciendelafonctionft,pard´eesalofcnitnﬁtioi,neΔ,non´eotf,eﬁd´ein dans l’ouvertUpar la relation suivante : 2 2 ∂ f∂ f Δf(x, y) =(x, y() +x, y). 2 2 ∂x ∂y 2 Une fonctionfa`avelrurse´lelesoucomplexes,dnﬁe´adeinusnevuortUdu planR,deux fois con-tinuˆmentd´erivable,estharmoniquedansUsi et seulement si son laplacien est nul dansU: 2 2 ∂ f∂ f Δf(x, y() =x, y) +(x, y) = 0. 2 2 ∂x ∂y Exemple:ene´lectrostatique,lepotentiele´lectriquedanslevideestharmonique. Lebutduproble`meestdedonnerdesexemplesdetellesfonctionspuisded´emontrercertainespro-pri´et´esdecesfonctions:leprincipedumaximum,lapropri´ete´demoyenne,lefaitquelesfonctions borne´esharmoniquesdanstoutleplansontconstantes.

2 Le planRe´umppsoaloninedstsueliuceerm.neendi Quelques exemples de fonctions harmoniques : 2 1.D´emontrerquelesfonctionscomplexesfetgn, n∈N,anlepladsninse´dﬁeRpar les relations ci-dessous, sont harmoniques :

x+i y f(x, y) =e ,

n gn(x, y) = (x+i y).

2 2.D´eterminerlesfonctionsusre´leel,asclde´e,dCserusseinﬁd-imedaleouvroit]0erte,∞[,telles   2 2 que chaque fonctionh,dnﬁe´anpldaielensRnitprvie´udopOR\ {O}par la relation ci-dessous, soit harmonique   p 2 2 h(x, y) =u x+y . p 2 2 Posersine´cessaire:r=x+y .

2 3.D´eterminerlesfonctionsvleel´ers,e´d,Cesrusseinﬁascldeladroiter´eelleR,telles que chaque   2 2 fonctionk,nadepelsnald´nieﬁRexlea’´ivrdpey´OyR\y´Oypar la relation ci-dessous, soit har-monique.   y k(x, y) =v . x

2 Soit la suite (uneptlnlaansdouste´dseinﬁcnofnoit)deRpar les relations suivantes : n∈N n n(x+iy) un(x, y) = (−1). (2n)! 2 4. SoitKnensnublemerefebm´n´oreuqenocldeuqalpuR;d´emontrerqulerasertciitnoun|Kde la fonctionun´ermfeauK’dnurelae´´nmrgectioefonriedes´etelesteme´mctnenusnrofi.teveonenrg End´eduirequelas´eriedefonctionsdetermeg´en´eralunconverge en tout point du plan et que sa somme, la fonctionϕtneiuavoisnelatrlariepa´eﬁnd, ∞ X ϕ(x, y) =un(x, y), n=0 est continue dans le plan. 2 5.De´montrerquecettefonctionϕest harmonique dans tout le planR.

Principe du maximum : 2 Soitfunctinefoﬁn´eedqutonsdaiellee´rnoinomraheleutanplR. SoitDcentremrefede´ideleuqs Oet de rayon strictement positifr(r >0) ; soitCle cercle de centreOet de rayonr:

  2 2 2 D= (x, y)|x+y≤r ,   2 2 2 C= (x, y)|x+y=r . ´ 2 Etantdonn´eunentierstrictementpositifp(p >0),soitfpnofale´dnoitcnsdaieﬁnRpar la relation suivante :

2 2 x+y fp(x, y) =f(x, y) +. p 6.D´emontrerl’existenced’unpointMpeesecdn´onrdooapetbp,e´mpaaptrenantaudisqueferDen lequel la fonctionfpatteint son maximum :

fp(ap, bpmax) =fp(x, y). (x,y)∈D

7.De´montrerque,silepointMpent`al’iappartidrdusiuqtne´irueeD,d´uxiverldeessednedsee´oces la fonctionfp´endseuedentvarinetbo,`asiapxuofoptrrrpaxudeuosparxfoippar`troay,sont, en ce pointMp,egn´taviseuounllse: 2 2 ∂ fp∂ fp (ap, bp)≤0 ;(ap, bp)≤0. 2 2 ∂x ∂y 8.Ende´duire,encalculantparexemplelelaplaciendelafonctionfp,que le pointMptseutis´esur le cercleC.

9.De´montrerqu’ilexisteunpointP´eesedcoordonnaetbdu cercleCen lequel la fonctionfatteint son maximum surD:

f(a, b) =maxf(x, y). (x,y)∈D

2 10.End´eduirequedeuxfonctionsharmoniquesdansleplanRlegaelslgdonnc’ulcreee´Cdu plan (derayonstrictementpositif),sonte´galesdanstoutledisqueDrfedere`itnoC.

Proprie´t´edelamoyenne

2 ´ Soitfed´eﬁniearmoniqu´reellheofcnitnoneunalpelsnadRinpounesn´ontdantE.tM0de coor-donne´esx0ety0r´leeetunρpositif ou nul, soitFortifere´mee0[eﬁniesurlademi-dofalitcn´dno,∞[ par la relation suivante : Z 2π F(ρ) =f(x0+ρcosθ, y0+ρsinθ)dθ. 0 11.De´montrerquelafonctionFetcoﬁnietd´ees-imedalruseunitn0e[´ermfeteoidr,∞[.

12.De´montrerquelafonctionF´erirsadv´eeesnemue´dtnoctˆnit´ePrsecivarie.blF´(ρ).

13.De´montrerqueleproduitρ.F´(ρleurd’uneint´egrlaceruivilngdeu’foneermge´tse)avala`la diﬀ´erentielleα=A(x, y)dx+B(x, y)dy:eΓt´enricoarun’dgnolel Z ρ.F´(ρ) =(A(x, y)dx+B(x, y)dy). Γ Pre´ciserlaformediﬀ´erentielleαl’et´tΓe.raocirne