Mathématiques II 2003 Classe Prepa HEC (ECO) HEC
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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2003 sur Bankexam.fr.
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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
´ OPTION ECONOMIQUE
´ MATHEMATIQUES II
Mardi13mai2003,de8h`a12h.
Lapre´sentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradue´eestautoris´ee.
L’objetduprobl`emeestl’e´tudedelarentabilit´edu«surbooking»mpagniea´eriennep.ocenuruo
PartieI:Expressiondel’esp´eranceduchiffred’affaire
Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Nnenuouurieerp´suertie,te´ag`l2apnu´rtementeelstric compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavenduniellcaucqs’uriujol71rlevpeut4quitneca`stuopsorue`aleilbNpassagers. Laprobabilite´pourqu’unacheteursepre´sente`al’embarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sind´ependantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepre´sentepas`al’embarquementestrembours´e`a80%,tandisqu’unacheteurquise pre´sentea`l’embarquementmaisn’obtientpasdeplace,levole´tantd´eja`complet,estrembourse´a`200%. SoitXlielu’bn´rsestpent`aentabarql’em,tnemeualvariableal´eatoi´dergisetnanonelrembacd’tehesdur soitYismantmeavalalleabrireoiat´eruetu’ds’derehcalentmbnoesd´naigmeabqreuattna`’lepr´esennbillets n’obtenant pas de place et soitGmeltatnonetnngnae´isrideaeoteal´iablavarlcentainesd’euros du chiffre d’affairedelacompagniesurlevolconsid´ere´. Onsupposecesvariablesale´atoiresde´finiessurlemeˆmeespacedeprobabilit´e(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deX?Dnare´psenosrennoriance.ceetsava 2.ntmet´ou´eelrep,uotrP´rcesiωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenlage´uorueire´fnties`aN. Calculeralorsl’espe´ranceE(Gotaeeriblial´eael)daravG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilite´P([X>Nvosa`aetnolesiirbmer)]narureˆuteiapt choisidefa¸cona`optimisersonchiffred’affaire.
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Partie II : Approximations dans des cas particuliers Onreprend,danscettepartielesnotationsetlesde´finitionsdelaPartieI. 1.On suppose, dans cette question, queplaa`0se´tge,5. 2X−n ∗ ∗ a) SoitXlavariabepni:areriofie´dlaeltae´X=√ ∙ n ∗ Donnerl’esp´eranceetlavariancedelavariableal´eatoireX. ∗ b) Parquelle loi approcher la loi deXsinsezgrand?Montreruqa’olsrnuvelaueee´hcorpparesats n+ 1−2N delaprobabilite´P([X>N]) est Φ√, n ou`Φde´signelafonctionder´epartitiondelaloinormalecentr´eer´eduite. x+ 1−2N c)Pourtoutr´eelx,1noopes´ugelaa`´erieuro:supf(x) =√ ∙ x Montrer que la fonctionfest croissante. 7 6 d) Onsuppose queNΦ:ennodnoet20a3l`ga´este√ ≈0,609 ;Φ√ ≈0,592 . 646 645 Quepeut-onend´eduirepourP([X>N]) sinuiss45,piruuoreei`l6ae´agstef´innrueire´tsupes oue´gala`646? ∗ 2.Pour tout entier naturel non nulmnafonctio`dislereo,nocngmd´efineiusrR+par m k X x −x gm(x) =e k! k=0 m x ∗ 0 −x estde´finiesu a)Montrerquelafonctiond´eriv´eedegmrR+par :g(x) =−e∙ m m! m m ∗ −m0 Montrerqu’ellev´erifieladoublein´egalit´e:∀x∈R,−e6g(x)60 . +m m! b)Ende´duireque,siaetbostnr´eedeuxerifialnstv0´< a < b, on a : m m −m 06gm(a)−gm(b)6(b−a)e m! 3.On suppose, dans cette question, quepest´ega`l0a,99 et quenetsueira`rtsen´eupristemctN. a)Pre´ciserlaloidelavariableal´eatoiren−X. b)Onsupposera,danslesprochainscalculs,quelaloidelavariableale´atoiren−Xetrepeˆtu remplac´eeparlaloidePoissondeparame`tre0,01ndont on noteFfoncla.onititperaed´ritno Que vaut alorsP([X>N]) ? c) Exprimerle nombreF(n−Nnoitc)’dnufenoa`’liaedgmpilucitraladere`eontiesqu2. d) Onsuppose queN´egaest00.l`a3 Pourtoutre´elstrictementpositifα, on noteFαalofcnitonder´epartitionedaloldiPeiossnode param`etreαet on donne : 3 3 −3 F3(2)≈0,423 ;F3(3)≈0,647 ;e≈0,224 3! Montrer que, sin,203a`lat´egesP([X>N0)]luuptaes`aalegs´,5 et que, sin,3est´gelaa`03 P([X>Nteicntmees])trtsa`ru0´puseire,6.
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