Mathématiques II 2002 Classe Prepa HEC (S) HEC
4
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
4
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2002 sur Bankexam.fr.
Voir
HEC 2002, math II Lesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceprobl`emesonttoutesde´finiessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,B, Pleel.selrurse´ava`te) L’esp´eranced’unevariableale´atoireXe´eesottnE(X). Onadmetlesre´sultatssuivants: i) siXetYre´pecna´vtefiireosspeds´tuanesneantl’in´egalit´eravxuedtnosreoiat´ealesblia X6Yce’ts`--aideranifierv´tX(ω)6Y(ωotruop)me´le´tuentωe´ag’lni:eil´tdeΩ)sonaalor E(X)6E(Y). ´ ii)Etantdonne´unefonctionfcontinue sur [0,+∞evariabl[etuneriotae´laeYssopeunntda´e Z +∞ densit´eϕcontinue sur [0,+∞[ et nulle sur ]− ∞,sil’0[,egraint´elf(u)ϕ(u) duconverge 0 absolumentalorslavariableal´eatoiref(Yceanerv´anifit:)pso`sdeueense´pre Z +∞ E f(Y) =f(u)ϕ(u) du 0 PartieI:D´efinitiondel’applicationL On noteEe’l0[rtincfoesedblemnsllse´dfienofs´reetinuessunies,con,+∞[ et telles que, pour Z +∞ −xt toutr´eelxeni’l,fitelarge´tteictrssipontmef(t) dtconverge absolument. 0 1)a)´eVfieriuerqEtsesenuecaptcevorielr´eel. b)irefiqreuV´eEcnoitne0us[res´ernboetesnutinocsnoitcnofselt,+∞[. 2)temen´el´toutoPrufdeEon noteL(fletruorte´iefinou,pioct´endl)nofaxstrictement positif, par : Z +∞ −xt L(f)(xe) =f(t) dt 0 a)´VrefiiquereLdenetuplapese´nieriatacilnoiEdans l’espace vectoriel des fonctions de ]0,+∞[ dansR. −λt b)lee´rtuotruoPλpositif ou nul, on noteελe´rnellefie´dpeinarlafonctioελ(t) = epour toutr´eeltisitopul.Vfounfierq´eritruop,eulee´rtuoλpositif ou nul, la fonctionελest dans Euotre´rtteuop,elxstrictement positif, calculerL(ελ)(x). c)ee´rtuotruop,euqertronMlλpositif ou nul et toute fonctionfdeE, la fonctionελfest aussi dansEeelv´etrefii,eopruottu´rx:´el,fitisotilage´’strictementpL(ελf)(x) =L(f)(x+λ). 1 3)euned`ertionfoncnoisOcnHntde´eme´elE, de classeCr[sueen´ortbeentsiasc,or0,+∞[. 0 Montrer que la fonctionHest aussi dansEluttoeer´e,topruxstrictement positif, justifier l’´egalite´: 0 L(H)(x) =−H(0) +xL(H)(x) 4)Soit une fonctionfnedteeml´´eE. Pour tout entier naturelnertneuqrofalitcnquonai`,mo n toutr´eeltpositif ou nul associet f(tsuatse)eentdl´emsi´eE. PartieII:D´erivabilit´edelafonctionL(f) Danstoutecettepartieonconside`reunr´eelxstrictement positif et une fonctionfnedt´lme´eeE. x 1)Soithr´eeunnulvlnont´lieire´tnafini’lage´|h|<. 2 a)ruottu´reelPottcitee´me:ntpositif,justifierl’in´etgsailr 2 2 h t −(x+h)t−xt−xt−xt/2 e−e +hte6e 2 b)uoPtr´ertouelTtnopetem,fujisittrics:e´tl’erifistliga´ein Z Z T−(x+h)t−xt+∞ e−e|h| −xt2−xt/2 f(t) +tef(t) dt6t|f(t)|e dt h2 0 0
c)uired´edEnuqeL(frevits´dleaeb)enxuetqnnsoe´virneerbmoe´dexvaut : Z +∞ 0 −xt L(f) (x) =−tf(t)e dt 0 d)Montrer que la fonctionL(fminee´nfiiravdte´ur]0blesndties),+∞[ et, pour tout entier naturelkiaed’dnuietne´rgalelavaleurdelade´ir´veedo,ernnl’`ake-`imedeL(f) enx.
PartieIII:Injectivite´del’applicationL:f7→L(f) Danstoutecettepartieonconside`reunre´elxstrictement positif et une fonctionfcontinue et born´eesurl’intervalle[0,+∞[. Ainsifdementel´e´tseE. 1)Soit (Xn)n∈Nl´saleabrivadetenepe´dniseriotaeslteoialpoex-tsneaiduussneunaviuott ∗ 1 nentielledeparam`etre´egal`a(doncd’espe´rancex). Pour tout entier natureln, on pose x n X Sn=Xk. k=1 a)neruDontae´eriobairlaelde´evaladeneitnsSn. Sn b)’unoonetsntie´q,nerunedeDonraϕn.eriotae´laebliaaravel,d n 2)a)Soitαuioseivt.tfnroPpgeetleamlrrt´c’i:eelsiutn´re´ Sn limP−αx >= 0 n n→+∞ b)canoituntie´edalfonctionutEntlanisilfenxuotre´rtle,pouεstrictement positif, justifier l’existenced’unre´elαstrictement positif tel que, pour tout entier naturelnnon nul, on a : SnSn f−f(x)> ε⊂ −x >α n n c)Soitεtpenemct.Pifitosrnuirtslee´e:re’lorvuil´te´ag Sn limP f−f(x)> ε= 0 n n→+∞ 3)On noteMun majorant de|f|sur [0,+∞[. a)SoitεtuotruoP.fitisopntmeteictrlseer´unltureernaentin, on noteAne´en´’ventmle: Sn An=f−f(x)6ε n et1An:stae´erioeufislvriin’a´entegceJl.astuiiet´inadbilceastarlientresvoanri Sn f−f(x)6ε1An+ 2M(1−1An) n b)nE:e´tgalil’´euired´ed Sn limE f=f(x) n→+∞ n 4)a)ga´et´lie:´eDduiredesquestionps´rcee´edtnse’l Z n+∞ n n−1−nt/x f(x) =limt f(t)e dt n n→+∞ (n−1)!x 0 puisl’e´galite´ n n−1 n(−1)(n−1)n f(x) =limL(f) n (n−1)!x x n→+∞ b)Montrer que si deux fonctionsfetgtborn´eentinueseoc[0ellavretni’lruss,+∞tenifierv´[ L(f) =L(g) alorsfetg.alest´egson c)Muxfonctionse´sitnemeuq,edistron,perspluecr´fetgnoitunseteobnre´ce’irlsuesllvaernt [0,+∞v[tnefiire´L(f)(x) =L(g)(x) seulement pour toutxdans ]a,+∞`oau([ifouositestp nul) alorsfetgcnetnos.esalege´or 2
