CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2002
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On appelledurée de viedun composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusquà sa première panne éventuelle.On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoireTdénie sur un espcae probabilisé(;B; P);à valeurs dansR+: SiFest la fonction de répartition de cette variable aléatoire, on appelleloi de surviedu composant la fonctionD dénie surR+par : 8t2R+; D(t) = 1F(t): Le problème se compose de deux parties pouvant être traitées indépendamment.
Partie 1 :Cas discret
On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire à valeurs dansNqui vérie, pour tout entier natureln; D(n)6= 0:
A. Coe¢ cient davarie
Le composant est mis en service à linstantt= 0:Pour tout entier naturelnnon nul, on appellecoe¢ cient davarieà linstantndu composant, la probabilité quil tombe en panne à linstantn;sachant quil fonctionne encore à linstantn1;cest-à-dire le nombrendéni par légalité :
n=P([T=n]=[T >n1]):
1. Exprimer,pour tout entier naturel non nuln;la probabilitéP([T=n])à laide de la fonctionD: En déduire légalité : D(n1)D(n) n=: D(n1)
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2. Onsuppose quepest un réel de lintervalle]0; 1[et queTsuit la loi géométrique de paramètrep: (a) Quelleest lespérance de la variable aléatoireT? (b) Calculer,pour tout entier naturelnnon nul,D(n)en fonction den: (c) Endéduire, pour tout entier naturel non nul, légalité:n=p: 3. Réciproquement,on suppose dans cette question quil existe un réel strictement positiftel que lon a :8n2N; n=: (a) Etablir,pour tout entier naturel non nuln;légalité:D(n) = (1):D(n1): (b) Endéduire queTsuit une loi géométrique et préciser son paramètre. B. Nombres de pannes successives dans le cas dune loi géométrique Un premier composant est mis en service à linstant0et, quand il tombe en panne, est remplacé instanta-nément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à linstant de sa première panne dans les mêmes conditions, et ainsi de suite. On suppose à nouveau, dans cette partie, quepest un réel de lintervalle]0; 1[et queTsuit la loi géométrique de paramètrepet que, pour tout entier strictement positifi;la durée de vie dui-ème composant est une variable aléatoireTidénie sur(;B; P);de même loi queT: Les variables aléatoiresTisont supposées mutuellement indépendantes et, pour tout entier naturelknon k P nul, on pose:Sk=Ti: i=1 (Skdésigne donc linstant où se produit lak-ème panne et lek-ème remplacement.) 1. SoitmDémontrer par récurrence surun entier naturel.n;pour tout entier naturelnvériantn>m; n P m m+1 légalité:C=C : j n+1 j=m (a) Déterminerla loi de la variable aléatoireS2égale àT1+T2: (b) Montrerpar récurrence que, pour tout entier naturel non nulk;la loi deSkest donnée par : k1k nk 8n>k; P([Sk=n]) =C p(1p): n1 2. Ondispose en PASCAL de la fonction "RANDOM" qui retourne un nombre de type "REAL" choisi au hasard dans lintervalle[0; 1[:Ainsi, sipest la probabilité de panne du composant à un instant donné, en faisant appel à la fonction "RANDOM", on obtient une simulation informatique de cette panne dans le cas où le nombre retourné par cette fonction est strictement inférieur àp: (a) Ecrireune fonction en PASCAL den-tête "FUNCTION NbP(p :REAL;n :INTEGER) : INTEGER;"
qui connaissant le nombre réelpet un nombre entier strictement positifn;simule lexpérience et retourne le nombre de pannes survenues jusquà linstantn: (b) Ecrireune procédure PASCAL den-tête
"PROCEDURE Arret(p :REAL; r :INTEGER);"
qui, connaissant le nombre réelpet un entier strictement positifr;simule lexpérience en larrêtant dès que le nombre de panne atteintret a¢ che la valeur de linstantnoù larrêt sest produit. 3. SoitnOn noteun entier strictement positif.Unla variable aléatoire désignant le nombre de pannes (et donc de remplacements) survenues jusquà linstantninclus. n (a) EtablirlégalitéP([Un= 0]) = (1p)et calculerP([Un=n]): (b) Exprimer,pour tout entier naturel non nulk;lévènement[Un>k]à laide dun évènement faisant intervenir la variable aléatoireSk:
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(c) Endéduire queUnloi la loi binomiale de paramètresnetp: 1 4. Danscette question, le nombrepest égal à: 200 On considère alors un appareillage électronique utilisant simultanément1000composants identiques fonctionnant indépendamment les uns des autres et dont la durée de vie suit la même loi queT:A chaque instant, les composants en panne sont remplacés par des composants identiques comme précédemment. (a) Préciserla loi de la variableUdésignant le nombre total de remplacements de composants e¤ectués jusquà linstantnégal à100inclus. (b) Ondésire quavec une probabilité de0;95;sant jusquàle stock de composants de rechange soit su¢ linstantnégal à100combien peut-on évaluer ce stock ?inclus. A r 995 On donne :'22;3;et, en désignant parla fonction de répartition de la variable aléatoire 2 normale centrée réduite,(1;65)'0;95:
Partie 2 :Cas continu
;continue su On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire de densitéfnulle surRrR+et strictement positive surR:
A. Loi de survie et coe¢ cient davarie
Pour tout réeltpositif, on appellecoe¢ cient davarieà linstanttle nombre(t)déni par :
f(t) (t) =: D(t)
1. Soittun réel positif. Pour tout réel strictement positifh;on noteq(t; h)la probabilité que le composant tombe en panne entre les instantstett+hsachant quil fonctionne encore à linstantt;cest-à-dire le nombreq(t; h) déni par : q(t; h) =P(T2]t; t+h]=[tT >]): D(t)D(t+h) (a) Etablirpour tout réelhstrictement positif, légalité :q(t; h) =: D(t) (b) Montrerque la fonctionDest dérivable surR+et préciser sa fonction dérivée. q(t; h) (c) Montrerque le rapporta pour limite(t)quandhtend vers0par valeurs supérieures. h 2. Onsuppose, dans cette question, queest un réel strictement positif et suit la loi exponentielle de paramètre: (a) Détermineralors la loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative. 1 (b) Etablir,pour tout réeltpositif, légalité(t) =;oùE(T)désigne lespérance de la variable E(T) aléatoiret: 3. Onsuppose dans cette question que la densitéfde la variable aléatoireTest dénie par : ( 2 t tesit>0 2 f(t) = 0sit <0:
(a) Vérierque la fonctionfainsi dénie possède les propriétés dune densité de probabilité. (b) Justierles égalités : +1+1 Z rZ 2 2 t t 2 e dt= =dt:t e 2 2 2 0 0
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(c) Calculerlespérance de la variable aléatoireT: 2 (d) Montrerque la variable aléatoireTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. En déduire la variance de la variable aléatoireT: (e) Déterminerla loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative en précisant 1 la tangente au point dabscisse0et le point dinexion.On donne :e2'0;607: (f) Calculer,pour tout réeltpositif, le coe¢ cient davarie(t): 4. On suppose dans cette question quil existe une constantestrictement positive telle que lon ait : 8t2R+; (t) =: t (a) Pourtout réeltpositif, on pose :g(t) =e D(t):Montrer que la fonctiongest constante surR+: (b) Endéduire queTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. B. Entretien préventif On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes dentretien. On suppose que la variable aléatoireTadmet une espérance (nécessairement strictement positive) notée E(T)et représentant donc la durée moyenne de fonctionnement dun composant. On considère que la panne dun composant provoque un préjudice de coûtC;et que son remplacement a un coûtK; CetKétant deux constantes strictement positives. Une premire méthode consiste à attendre la panne pour procéder au remplacement.On estime alors que K+C le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné par :c1=: E(T) Une deuxième méthode dentretien consiste à se xer un réelstrictement positif et à remplacer le com-posant dès sa panne si elle survient au bout dune durée de fonctionnement inférieure à;sinon à le remplacer préventivement au bout dune duréede fonctionnement. On estime alors que le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné en fonction depar : K+ (1D())C c2() =: R D(t)dt 0 1. Alaide dune intégration par partie, établir la formule : Z Z f(t) D(t)dt=P([T >]):+P([T6]): tdt: F() 0 0 R LintégraleD(t)dtpeut donc sinterpréter comme la durée moyenne de fonctionnement du composant 0 dans la deuxième méthode. 2. Calculerc1et, pour tout réelstrictement,c2()dans le cas oùTsuit la loi exponentielle de paramètre : Montrer qualors la deuxième méthode ne présente pas davantage.Comment peut-on expliquer ce résultat ? 3. Onsuppose queTsuit la loi décrite dans la questionA.3 de laPartie 2. (a) Préciserla valeur dec1et montrer que lon a :limc2() =c1: !+1 2 2 R t1 (b) Montrerque pout tout réel strictement positif;on pose :'() =dtC e(K+C(1e)): 2 2 0 Montrer que la fonction'est dérivable surRet que sa dérivée est strictement positive. + En déduire le tableau de variation de':
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(c) Etudierles variations de la fonctionc2et montrer quelle admet un minimum en0qui vérie : c()< c: 2 1 r 2K (d) Etablirlégalitéc2() =cC0puis linégalité0<)(1 +: C (e) Onsuppose, dans cette question, queKetCsont tous deux égaux à1;et on donne : c2(1;5) = 1;5429etc2(1;45) = 1;5439: En déduire un encadrement de0damplitude0;1: