CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE I 0 1 1 2 @ A Dans tout lexercice,désigne un paramètre réel.On considère la matriceA=1et on 22+ 1 3 3: notelendomorphisme deRreprésenté parAdans la base canonique deR 1. (a)Montrer que, quel que soit, lendomorphismeadmet la valeur propre1. (b) OnnoteE1()le sous-espace propre deassocié à la valeur propre1. Déterminer, suivant les valeurs de a, une base deE1(). 3 2. Onconsidère les vecteursf1= (1;1;1)etf2= (1;1;2)et on noteF1le sous-espace deRengendré par f1etf2. (a) Montrerque(fl; f2)est une base deFl. (b) Montrerque limage parde tout vecteur deF1appartient àF1. ^ endomorphisme deFinduit p (c) Soitl1ar, cest-à-dire vériant,.pour tout vecteurVdeF1, ^ (V) =(V) ^ er la matre)deF1. Donn iceddans la base(fl; f2 3. Montrerque, pour tout réel, lendomorphismeadmet la valeur propre1et quon peut trouver un 3 vecteurf3deRne dépendant pas de, qui soit, pour tout réel, vecteur propre deassocié à la valeur propre1. 3 e dean (a) Montrerque(fl;f2; f3)est une base deR. Donnerla matriccette base.d s (b) Pourquelles valeurs du paramètrelendomorphismeest-il diagonalisable ?
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EXERCICE II I. Étude dune suite vériant une relation de récurrence linéaire Étant donné un paramètre réel >0, on noteElespace vectoriel des suitesU= (un)n>0de réels qui vérient, pour tout n positif, la relation
u=(u+u) n+2n+1n n n 1. Montrerquon peut trouver deux réelsrets, avecr < s, tels que les suitesR= (r)n>0etS= (s)n>0 forment une base de lespace vectorielE:Exprimerretsen fonction deet comparerjrjetjsj: 2 2. Étantdonné un élémentU= (un)n>0deEsécrivantU=aR+bSavec(a; b)2R, donner lexpression de aetben fonction deu0etu1: 1 3. Onsuppose, dans cette question, que lon a0< a <: 2 SoitU= (un)n>0un élément deE. (a) Montrerque la suiteUconverge vers0. (b) Siu1u0rnest pas nul, montrer quil existe un indicen0tel que, pourn > n0,unne sannule pas et garde un signe constant et que lon a : lnjuj n lim =ln(s) n n!+1 (c) Montrerque si, au contraire,u1u0rest nul et si la suite(un)n>0nest pas identiquement nulle, alors, pour tout entiernpositif,unetun+lsont de signes contraires.Quel équivalent peut-on donner, dans ce cas, delnjunj? 1 4. Onsuppose, dans cette question, que lon a< a: 2 À quelle condition suruetulélémentU= (u)deEMontrer que les élémentsest-il une suite bornée ? 0 1n n>0 de E qui sont des suites bornées forment un sous-espace vectoriel de E dont on précisera la dimension.
II. Étude dune récurrence non linéaire Soitun réel strictement positif.On notem= min(l; )le plus petit des nombres1etetM= max(l; )le plus grand de ces nombres. On considère la suiteV= (vn)n>0vériantv0= 0,v1=et, pour toutnpositif, la relation p p v=v+v n+2n+1n 1. Montrer,pour toutnstrictement positif, linégalitém6vn64M: 2. Montrerque si la suiteV= (vn)n>0admet une limite, cette limite est nécessairement égale à4. On se propose de montrer que, pour toutstrictement positif, la suiteVadmet e¤ectivement pour limite 4. 3. Montrer,pour toutnpositif, linégalité jv4j jv4j n+1n jvn+24j6p+p vn+1+ 2vn+ 2 1 4. Onpose=pet on considère la suite U = (un)n>0vériant la relation de récurrence linéaire m+ 2 un+2=(un+1+un) et les conditions initiales,u0=jv14jetu1=jv24j. Montrer que, pour tout n strictement positifjvn4j6un1.
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5. Enconclusion, montrer à laide des résultats de la première partie que la suiteVconverge vers4. 6. Écrireun programme Turbo-Pascal qui lise un entierNet un réelet qui a¢ che, en sortie, lesNpremiers termes de la suiteV.
EXERCICE III Sachant quun appareil a fonctionné correctement pendant une certaine durée x, on sintéresse à la probabilité pour quil continue à bien fonctionner pendant encore au moins une durée y.Pour cela on convient de représenter la durée de vie de ce type dappareil par une variable aléatoire réelleXdénie sur un espace probabilisé dont on notera la probabilité P. Lexercice a pour objet létude de quelques fonctions liées à cette durée de vie.
I. On suppose dabord queXprend ses valeurs dansNet que, pour toutndeN,P(X=n)Onnest pas nul. pose; pour toutndeN, 1 X p n pn=P(X=n); Gn=P(X>n) =pketZn= G n k=n 1. Justierles inégalités0< pn< Gn61et0< Zn<1. 2. SoitnÉtablir légalitéun entier naturel.P(X>n+ 1=X>n) = 1Zn. (a) Montrerque la suite(P(X>n+ 1=X>n)).est constante si et seulement si la s n2Nuite(Zn)n2N est constante. (b) Vérierque les conditions précédentes sont réalisées dans le cas où la loi deXest une loi géométrique. (c) Réciproquement,on suppose quil existe une constante p appartenant à]0;1[telle que la suite(Z) n n2N soit la suite constante égale àp. Montrerpar récurrence queXsuit une loi géométrique. pn+m lors la suite( ) 3. Montrerque si, pour tout entiermdeN, la suiteest décroissante, aZn n 2N pn n2N est croissante et la suite(P(X>n+ 1=X>n))est décroissante.(On dit alors quil y a vieillissement n2N de lappareil dontXest la durée de vie.)
II. On suppose maintenant que la variable aléatoireXprend ses valeurs dansR*+et admet une densité f continue et strictement positive surR, On pose, pour tout réel strictement positifx, + +1 Z f(x) G(x) =f(t)dtetZ(x) = G(x) x G(x+y) 1. (a)Si x et y sont des réels strictement positifs, on poseH(x; y) =. G(x) Montrer que lon a alors, pour tout couple(x; y)deR, légalité : + @H G(x+y) (x; y) =(Z(x)Z(x+y)) @x G(x) (b) Montrerque la fonctionx!Z(x)est une fonction croissante surRsi et seulement si, pour tout réel + ystrictement positif xé, la fonctionx!P(X>x+y=X>x)est une fonction décroissante. 2. (a)Montrer que si la loi deXest une loi exponentielle, alors la fonctionZest constante. (b) Réciproquement,montrer que siZest la fonction constante égale au réel strictement positif, alors la x fonctionx!e G(x)Quelle est alors la loi deest constante.X?