Mathématiques II 2000 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC
3
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
3
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2000 sur Bankexam.fr.
Voir
ESSEC 2000, math2, Option scientifique
Onconsid`ereuncombatentretroistireursA,B,C,quireuoes´dnuseelne´ed’teuisdveeuprale fac¸onsuivante,jusqu’a`e´liminationd’aumoinsdeuxdestroistireurs: •nastepdndne´noitres.sautnsdelesustlessirusTo •LorsqueAevdaiasrseerge´t’iquttlagneionesale`a2al,eriturpo´eitilabobpr/3. •LorsqueBosengietasrevdanouept´liatilu’rqiterl,paorabibst´eiree`a1gale/2. •LorsqueCeittesgnquurla’itiliope´rpalbaboegale`a1iaerse´tnodaevsrri,et/3. •ssuieLuovreses.vantle,inteitttaesrsueritsednu’uqeuq´epredesmin´´eliemtnitevfieints´d •es,lesuvsnurretierocneno´nimile´ucencAahpeered´sxeuestirentsimultane´emtntehccanu’d viseleplusdangereuxdesesrivauxnonencoree´limin´es. (Ainsi,`alapremie`ree´preuve,AviseBtandisqueBetCvisentA). Pour tout nombre entiern≥snoce`dino,1ne´entmelereevs´ntvauisss: hh ii ABCnssi’la`:aledeun-e´epi`eme,reuvA,BetCenosescntnape´orimel´ein.s ABne:laa`si’ldeusnevs,uesl-i`eme´epreuAetB.s´eenionsmile´erocnesaptn hh ii Onde´finitdefa¸conanalogueles´eve´nementsBCnetCAn. Anaelisl’edsu:a`n`e-ievs,ueleme´rpueA´elimin´en’e.stpas hh ii Onde´finitdefa¸conanalogueles´ev´enementsBnetCn. ∅n’la`ussiaede:ln´epr`eme-itsrirtiol,seueevn´mili´entsorseu.se hh ii Enfin,ABC0lt´’vee´enemtnecrsteain,AB0,BC0,CA0,A0,B0,C0,∅0.biel´’l´eevmeneimntsspo Partie I Ond´eterminedanscettepartieIlesprobabilite´spourqueA,B,Cremportent le combat. 1)laCdluclit´es.eprobabi a)Exprimer, siUetVocleuqstnemene´v´euxdentneigesd´no´n´sdeibilorabacepnespsd’unque,e laprobabilite´p(U∪Vde)´el’env´menetU∪Ven fonction dep(U),p(V) etp(U∩V). b)obprlare´eitilabiude´dnE`alaeuvelepaqueluq`’oprue´rpuaentipenrticA,B,C (Arate son tir) et (BouClentseissseur´.)ritru c)ueaqeplluvreale`tnitraepicbabilit´irelaproa`nu´epepeuoqr’uude´dnEA,B,C (Asuisre´it)rstnoet(BouCtrueltne.)rirsiss´eus 2)´Dnamieretprdeontibobalitie´csnoidtionnelles a)qrer’leu´ve´menetenMontABnest impossible pour tout nombre entier natureln. Danslasuite,onneconside´reradoncqueles´eve´nementsABCn,BCn,CAn,An,Bn,Cn, ∅n. b)paorabibilicetlrExpellnoce´tilennoitidp(ABCn+1/ABCn). c)Expliciterp(BCn+1/ABCnal’a)`ui,ponsdrnedediqaletseu1noip(CAn+1/ABCn). d)Expliciterp(An+1/ABCn),p(Bn+1/ABCn) etp(Cn+1/ABCn). e)Expliciterp(An+1/CAn),p(Bn+1/BCn),p(Cn+1/CAn) etp(Cn+1/BCn). f )Expliciterp(∅n+1/ABCn),p(∅n+1/BCn) etp(∅n+1/CAn). 3)nd’´eprembremoyeoNbmtaelocch’ave`eelqussleussisedesevu’la` On noteT’ialuessquduceellesseeatoeal´iablavarls`veeupr´ed’remboneltnauqidnieri combat,c’est`adireaudel`aduquelilnerestequ’untireurauplus. a)eelleuQborpaltsit´eabil´ev´del’netnemeT= 1 ? b)Soitn≥elucpalr2laC.edt´’´elbarolibitnusvinavee´enemt: ABC1∩ABC2∩. . .∩ABCn−1∩ABCn c)Soitn≥ru0tssuementspoivanaprllecual.C2lera´tdeibilorabv´enes´eiond´eun≤k≤n−1 : ABC1∩. . .∩ABCk∩CAk+1∩. . .∩CAn (pourkmenetli,0=s’agitdel’´ev´enCA1∩CA2∩. . .∩CAn).
d)Soitn≥ne´entmedeonevs´uops0riusstnavlaprobabCalculeral´rueinlitie´ed2.≤k≤n−1 : ABC1∩. . .∩ABCk∩BCk+1∩. . .∩BCn (pourkgi’als,i=0tnemene´ve´’ledtBC1∩BC2∩. . .∩BCn). e)Soitn≥e.C2cualellrpaorabibil´tp(nT >)pourquelee`n´mieruess’ialentabmoctsaptios de lanetenuve,uired´ed-`ipeerme´eitil´eprlaabobp(T=nire´arefi)vno(formulequecette redonne bien pourn=.)anoitseuqala`unteobatltsu´eer1l f )eimr´dgetsearee´adrellenoesem´muelafierq´eriVp(T=n) (avecn≥`elage´tsiup,1a1)es d´eterminersousformedefractionirr´eductiblel’esp´eranceE(Ted)avalabrialleat´ereoiT. 4)it´eabilProbqreupsuoA,B,Cremportent le combat a)´enementve´’leuqrertnoMArempouessladeab`tlai’trlecemoni`-e´emtseerpeevu hh ii impossible sinu’rqrentegt´esiltnavissomte,1=´enes´evssuimental´rlaa`noedueinn≥2 : ABC1∩. . .∩ABCk∩CAk+1∩. . .∩CAn−1∩Anpour 0≤k≤n−2 (pourktne=m0e,ni´eev’´eltdgi’alsCA1∩CA2∩. . .∩CAn−1∩An). b)equ´eiturpobalirpborealclluCaAtabm’la`etroocelampreissuedeln(-i`emee´rpueevn≥2). c)eralrpbonE´ddeiupourqueabilit´eAoceltabmpmeretrorediurpo’e(c`astsaioptnlseuqi’ e´limin´ea`l’issueducombat). d)te´Dlameˆeemrdnemierprobabilit´epouruqeBremporte le combat. e)Dte´einrmedremeˆmpaleabort´epbiliueourqCremporte le combat. Partie II Danscettepartie,onretrouvepardesme´thodesmatricielleslesprobabilite´spourqueA,B,C remportentlecombatenn’utilisantquelesre´sultatsdesquestionsI.1etI.2. 1)Expression de la matrice de transitionM a)matairecc-lonoenOnconsid`erelEnrd,eontdntssetoranscpesseltneme´le´tptse`adoesgnli du haut vers le bas,p(ABCn),p(BCn),p(CAn),p(An),p(Bn),p(Cn),p(∅n)). Expliciter une matriceMacrre´de´erifiant’ordre7vbmonneerruoptuotlreertitunan: En+1=M En. Onv´erifieraquelasommedechacunedesseptcolonnesdecettematriceMest´egale`a1. b)Edne´udrieEnen fonction den, deMetE0. 2)Calcul des puissances de la matriceM 0 00 a)`eidnscoOnee´tse3noordresd’rr´eseacrtcixuameredU,Uet deux matrices rectangulaires 0 00 a`4ligneset3colonnesnot´eesV,Vamselemracsecirtfoonl’etesd’rr´ee7:ordr 0 00 0U000U0 M=, M= 0 00 V I4V I4 o`u0de´signelamatricenulle`a3ligneset4colonnesetI4d’ordre4.lmataireci-edtntie´ V´erifiera`l’aidedesre`glesduproduitmatriciell’´egalite´suivante: 0 00 0 00U U0 M M= 0 0000 V U+V I4 U0 Expliciter les matricesUetVtelles que :M= . V I4 b)usecruce´nerrfinenrrpataEirbln≥1tn:euivat´esgalil’´e n nU0 M= n−1 V+V U+∙ ∙ ∙+V UI4 3)Diagonalisation de la matriceU a)rppoersDete´inrmleeralsvrseuλ1, λ2, λ3deUavecλ1< λ2< λ3et les vecteurs propres associ´esV1, V2, V3tels que - laremi`epercomposante deV1vaut 1. 2
