Mathématiques II 2000 Classe Prepa HEC (ECO) HEC
4
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
4
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2000 sur Bankexam.fr.
Voir
CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème se compose de cinq parties :il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique. Sile candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite ,admettre ce résultat. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urneUncontenantnboules numérotées de1àntire une boule au hasard dans. OnUn. On notekle numéro de cette boule.Sikest égal à1Si, on arrête les tirages.kest supérieur ou égal à2, on enlève de lurneUnles boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de1àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne.On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1note. OnXnla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro1note. OnYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)et V(Yn)) lespérance et la variance deXn(respectivementYn).
Partie 1. n P1 11 1. Onpose :hn= =1 ++:::::+ k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)lnk6 k+ 1k oùlndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6hn61 + lnn
1/4
(c) Déterminerun équivalent simple dehnquandntend vers linni. n P11 1 2. Onpose :kn= =1 ++:::::+ 2 22 k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à2, linégalité 1 11 6 2 k k1k (b) Endéduire la majorationkn62 (c) Déterminerun équivalent simple dehnknquand n tend vers linni.
Partie 2 :Etude de la variable aléatoire Xn
On noteInla variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneUn.
1. (a)Quelle est la loi deIn? (b) Quelleest la loi conditionnelle deXnsachantIn= 1? (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrer :
8j2N;8k2 f1;2; :::; ng;
P(Xn=j=In=k) =P(Xk1=j1)
2. (a)Quelle est la loi deX1? (b) Quelest lévénement(X2= 1)? Donnerla loi deX2, son espérance et sa variance. (c) CalculerP(X= 2=I= 1),P(X= 2=I= 2),P(X= 2=I= 3). Déterminerla loi deX, son 3 33 33 33 espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queXnprend ses valeurs dansf1;2; :::; ng. (b) DéterminerP(Xn= 1)etP(Xn= 2) (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrer la relation : n1 X 1 8j>2; P(Xn=j) =P(Xk=j1) n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à3etjsupérieur ou égal à2, calculer :nP(Xn=j)(n1)P(Xn1=j) En déduire, sinest un entier supérieur ou égal à2: n1 1 8j>1; P(Xn=j) =P(Xn1=j) +P(Xn1=j) n n
4. (a)Sinest supérieur ou égal à2:, montrer, en utilisant 3d. 1 E(Xn) =E(Xn1) + n (b) EndéduireE(Xn)et donner un équivalent simple deE(Xn)quandntend vers linni. 2 2 rE(Xn deE(X)et deE 5. (a)Sinest supérieur ou égal à2, calculen)en fonction1(Xn1). (b) Endéduire:V(Xn) =hnkn(en reprenant les notations introduites enPartie 1). (c) Donnerun équivalent deV(X)quandntend vers linni. n
2/4
6. Soit(Ti)une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout i entier naturel non nul,Ti i>1 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre. Onpose : i n X Sn=Ti=T1+:::::+Tn i=1 (a) VérierqueX1etT1ont même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à2, montrer, pour tout entierjnon nul : 1n1 P(Sn=j) =P(Sn1=j1) +P(Sn1=j) n n En déduire queXnetSnont même loi. (c) RetrouverainsiE(Xn)etV(Xn).
Partie 3 :Etude de la variable aléatoire Yn. 1. Donnerla loi deYn. (a) Quellessont les valeurs prises parY2? (b) Déterminerla loi deY2. 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2, montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à2
P(Y=j=I=k) =P(Y=jk) n nk1 (b) Sinest supérieur ou égal à2, en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à1 n1 1 P(Yn=j) =P(Yn1=j) +P(Yn1=jn) n n (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrerE(Yn) =E(Yn1) + 1 Que vautE(Yn)pour tout entiernsupérieur ou égal à1?
Partie 4.Simulation informatique.
Dans le langage informatique PASCAL, la fonctionrandom(n)renvoie un entier aléatoire compris entre0etn1. On donne la procédure suivante Procedure Truc (n :integer ; vara, b :integer) ; var alea :integer ; Begin alea := random (n)+1 ; writeln (alea) ; if alea>1 then begin a := a+l; b := b+alea; Truc (aleal,a,b) end; End; et le programme principal suivant :
3/4
var n ,a,b :integer ; Begin a := l ; b := l; . write (n:); readln (n); Truc (n,a,b) ; writeln (a=,a,b=,b), End. Que fait ce programme ?Que représentent a et b ? Cet algorithme est récursif.Transformer ce programme en un programme itératif écrit en Pascal.
Partie 5. On considère lurneUncontenantnboules numérotées entre1etn. Apartir de lurneUnon e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans lentête du problème.Pourientier def1; :::; ng, on dénitZla variable aléatoire égal à1 i si, lors dun quelconque de ces tirages, on a obtenu la boule numéroi, égale à0sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZndire de la variable? QueZ? 1 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2, et i un entier def1; :::; n1g, montrer la relation n X 1 1 (n) (k1) P Z= 1= +P Z= 1 i i n n k=i+1 (n) (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; :::; ng,Zsuit la loi de Bernoulli i 1 de paramètre. i n P (n) 3. QuevautZainsi? RetrouverE(Xn). i i=1 4. RetrouverE(Yn).
4/4
