Mathématiques II 1999 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 1999 sur Bankexam.fr.

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1999 ESSEC IRENE

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option scientiﬁque

MATHEMATIQUES II

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualite´delar´edaction,laclarte´etlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerpudeissolelb´rseandamslureslaucsl.esultatsdeleursc Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautorise´e. Siaucoursdel’e´preuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’e´nonc´e,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamene´a`prendre.

L’objectifdeceproble`meestl’e´tudedelamode´lisationdel’accroissementd’unepopulation,tantparlesnaissances que par l’immigration. Cettee´tudeesteﬀectu´eedanslapartieII,tandisque,danslapartieI,on´etablitunr´esultatprobabiliste pr´eliminaire. Danstoutleproble`meenﬁn,onadmettraquel’onapourtoutcoupledenombresre´els(α,x) tel queα >0 et 06x <1, la formule suivante, diteeˆeo:meg´enu´leerdaluibsi´nofmr 1α(α+ 1)α(α+ 1). . .(α+n−1) 2n = 1 +αx+x+∙ ∙ ∙+x+. . . α (1−x) 2!n! c’est-`a-dire +∞ X 1α(α+ 1). . .(α+n−1) n =x α (1−x)n! n=0 +∞ P k−1n Onexplicitera,a`l’aidedecetteformule,lasommedelas´erieC xpour 06x <1. n+k−1 n=0 Quelles formules classiques reconnaˆıt-on pourα= 1 et 2?

Partie 1 One´tudiedanscettepartieuneloideprobabilit´e,ditetavi.eaiel´ngeloibinomsevuerpe´’detuiesunre`eidnsconO deBernoulliidentiques,inde´pendantesetmenantausucce`saveclaprobabilite´p(0< p <1). Pour tout nombre entierk>dno,1arpengise´Xkvalaalleabrium´etlenl’´erodeioere´tauqnaniiduveo`preu intervient lekets(`euscce`emi-Xkonddenpre´pussruelavsedcu´egalesrieuresoa`k).

a. Onsupposeke=1sice´rP.diolalreX1lapre´,ilitobabP(X1=n+ 1)pour tout nombre entier naturelnet l’esp´eranceE(X1)edalav´eatoireriablealX1. b. Onsupposek >aprlnemieretD´1.o’tb´tdeibilorabenirk−esenucc`1sn+k−dne´iueseudri1´epes,preuv laprobabilite´P(Xk=n+k) pour tout nombre entier natureln. P c.Al’aidedelaformuledubinˆomege´ne´ralise´edonne´eplushaut,v´eriﬁeralorsquelase´rieP(Xk=n+k) apoursomme1,puiscalculerl’esp´eranceE(Xkelavaria)drioteaelbae´lXken fonction depetk. Commentpeut-oninterpre´tercedernierr´esultat? Onditalorsquelavariableal´eatoireXklen´egativedeparmae`rtsetiusolalnibiaimopetk.

Partie 2 One´tudiedanscettepartielacroissanced’unepopulationaucoursdutemps.Aceteﬀet,onintroduitpourtout nombrer´eelpositifteariableal´eatoliarvX(tonbmeredqiautnel)indant’la`tsnialupnoitdeuspolandsiidivt, et l’on suppose que l’on aX(0) =k, autrement dit que la population comptekindividus (k>)`al’instantinitlai0 t= 0. 1. Croissancede la population par les naissances (k >0). Onsupposedanscettequestionqu’ilexisteunnombrere´elstrictementpositifλtel que l’on ait pour tout couple (t,h) de nombres positifs avech >0 et pour tout nombre entier natureln: –P(X(t+h)< n+k/X(t) =n+k0=)u`o(nolatitaonP(X(t+h)< n+k/X(t) =n+kd´esignela) probabilite´conditionnelledel’´eve´nement”X(t+h)< n+k” sachant ”X(t) =n+k”). 0 –P(X(t+h) =n+k+ 1/X(t) =n+k) =λ(n+k)h+hε(h) n 00 –P(X(t+h)> n+k+ 1/X(t) =n+k) =hε(h) n 0 00 o`uh7→ε(h) eth7→ε(hsnoialedfxuetcnognsitden´e)dbaelavirhntesendade´dpe(nit) tendant vers 0 n n lorsquehtend vers 0. Ceshypoth`esessigniﬁentquelapopulationnepeutpasdiminuer,quelaprobabilite´pourqu’unenaissance seproduisependantunecourtedure´ehporotsrpeace`teetontillne´rudeehet au nombren+kdes individus pre´sents`al’instanttptneadnenutnelpsuqreunsiaeirucessssanduiseprote,lnﬁne’uqbibaroapouept´li courtedur´eehlggiaelbdevenaltaprobabilit´ed’uenesluneiassnaec.es´etn Onpr´eciseradanscecontextelaprobabilit´econditionnelleP(X(t+h) =n+k/X(t) =n+k). (a)Etablira`l’aidedelaformuledesprobabilit´estotalesler´esultatsuivant: P(X(t+h) =k) = (1−λkh)P(X(t) =k) +hε0(h) o`uh7→ε0(hertvanndteontinceuqsrol0senofnguee´isd)htend vers 0. + End´eduirequelafonctiond´eﬁnieparPk(t) =P(X(t) =k)estd´erivabltiorda`eruseRet que l’expressiondesade´riv´eea`droiteentest : 0 p(t) =−λkp(t) k k Onadmettraquecetteformuleestenfaitvalablepourlade´riv´eedelafonctionpk. +λkt (b)De´riverlafonctionde´ﬁniesurRpart7→e pk(t) puis, en tenant compte de la valeur depk(0) = P(X(0) =kseisnoed,)uiedd´enprexl’repk(t) en fonction dek,λett. (c)Etablirlere´sultatsuivantpourn >1 : P(X(t+h) =n+k) = (1−λ(n+k)h)P(X(t) =n+k) +λ(n+k−1)hP(X(t) =n+k−1) +hεn(h) ou`h7→εn(hueenofcnd)e´isngtvans0erontindtesroleuqhtend vers 0. + Ende´duirequelafonctiond´eﬁnieparpn+k(t) =P(X(t) =n+k)esrivatd´e`elbordasetiruRpour k>1euetqexl’iv´ee`adroiteenrpseisnoedas´dretest : 0 p(k−1)p(t) n+kt) =−λ(n+k)pn+k(t) +λ(n+n+k−1 Onadmettraquecetteformuleestenfaitvalablepourlade´riv´eedelafonctionpn+k.

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