Mathématiques I 2006 Classe Prepa MP Concours Mines-Ponts
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2007
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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2006 sur Bankexam.fr.
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A 2006MATH. IMP
ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2006
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
PourK=RouC, on noteMn,l(K)l’ensemble des matrices Ànlignes etlcolonnes À coefficients dansK. Un lment deMn,l(R)sera considr comme lment deMn,l(C). Dans la suite, on identifie les matrices carres (respectivement les matrices colonnes) et les endomorphismes (respective-n ment les vecteurs) canoniquement associs dansC: par exemple, on note n par la mme lettre une matriceTdeMn,n(R)et l’endomorphisme deC n dontTest la matrice dans la base canonique deC. l SiM∈ Mn, l(K)etx∈K,(M x)idsigne lai-ime composante du n vecteurM x∈K. On noteInla matrice identit deMn,n(C). Pourx= n (x1,∙ ∙ ∙, xn)∈K, on note n X kM xk1 kxk1=|xi|etkMk1= sup, x∈K\{0}kxk1 n i=1 pourM∈ Mn,n(K), la norme matricielle subordonne. DÉfinition 1On dit qu’une matriceM∈ Mn,l(R),de coefficients notÉs (mij,1≤i≤n,1≤j≤l), est positive (respectivement strictement po-sitive), ce que l’on noteM≥0(respectivementM >0), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs): mij≥0( resp.mij>0) pour tout(i, j)∈ {1,∙ ∙ ∙, n} × {1,∙ ∙ ∙, l}. Pour deux matricesMetNdeMn,l(R),M≥N(respectivementM >N) lorsqueM−N≥0(respectivementM−N >0). Une matriceM∈ Mn,n(R)de coefficients notÉs(mij,1≤i, j≤n)est dite stochastique lorsqu’elle est positive et que de plus n X mij= 1,pour toutj∈ {1,∙ ∙ ∙, n}. i=1 + On dfinit les ensemblesB,BetΣpar : n B={x∈R/ x≥0etx6= 0}, +n B={x∈R>/ x0}, n Σ ={x∈R/kxk1= 1}. Nous souhaitons montrer le rsultat suivant: ThÉorÈme 1 (Perron-Frobenius)SoitT∈ Mn,n(R)stochastique telle n−1 que(In+T)>0. Il existe un vecteur strictement positifx0satisfaisant T x0=x0. Toutes les valeurs propres deTsont de module infÉrieur À1et pour tout vecteurydeΣ∩B, k−1 X 1x0 j limT y=. k→+∞ kkx0k1 j=0
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Les deux parties sont dans une large mesure indÉpendantes.
I Unvecteur propre strictement positif On suppose queTest un ÉlÉment positif deMn,n(R)tel que n−1 P= (In+T)est strictement positive. + 1) Montrerque pour toutx∈B, l’ensembleΓx={θ∈R/ θx≤T x}est non vide, ferm et born.
On noteθ(x)son plus grand lment.
2) Montrerque pour toutx∈B, on peut calculerθ(x)de la manire sui-vante : (T x)i θ(x1) = min≤i≤netxi6= 0. xi
+ On noteθl’application deBdansRqui Àxassocieθ(x).
3) Montrerque pour toutα >0et toutx∈B,θ(αx) =θ(x).
+ 4) MontrerqueP(B)⊂B.
5) Montrerque pour toutx∈B,θ(P x)≥θ(x)etθ(P x)>0.
6) Soitx∈Bun vecteur propre deT. Montrer queθ(P x) =θ(x).
7) Soitx∈Btel queθ(P x) =θ(x), montrer quexest un vecteur propre deTpour la valeur propreθ(x).
8) SoitC=B∩Σ. Montrer que l’applicationθest continue deP(C)dans R.
9) Justifierl’existence dex0∈P(C)tel queθ(x0sup) =θ(x). x∈P(C)
10) Montrerquesupθ(x)≥supθ(x). x∈P(C)x∈C 11) Montrerquesupθ(x) = supθ(x). x∈B x∈C 3
12) Montrerquesupθ(xsup) =θ(x)et queθ(x0) = supθ(x). x∈C x∈P(C)x∈C On poseθ0=θ(x0). 13) Montrerquex0est un vecteur propre, strictement positif, deTpour la valeur propreθ0et queθ0>0.
II UnemÉthode d’approximation n−1 On suppose maintenant queTest stochastique et telle queP= (In+T) est strictement positive.
n+ Pour un vecteurx= (x1,∙ ∙ ∙, xn)deC, on notexle vecteur(|x1|,∙ ∙ ∙,|xn|), oÙ|z|est le module du complexez. Pour tout entierk≥1, on pose k−1 X 1 j Rk=T . k j=0 n 14) Soitθ∈Cetx∈Cun vecteur propre deTpour la valeur propreθ. + + Montrer que|θ|x≤T x. 15) Endduire que|θ| ≤θ0.
+ + 16) Montrerque|θ| kxk1≤ kxk1et en dduire que|θ| ≤1.
17) Endduireθ0= 1. j 18) Montrerque pour toutj≥1,TetRjsont des matrices stochastiques. 19) tablir,pour toutk≥1, les ingalits suivantes: k kTk1≤1etkRkk1≤1.
2 20) Montrerque pour toutk≥1,kT Rk−Rkk1≤. k n 21) Soitx∈C, montrer que la suite(Rkx, k≥1)a au moins une valeur d’adhrence.
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22) Soityune valeur d’adhrence de la suite(Rkx, k≥1), montrer que T y=yet que pour toutk≥1,Rky=y.
23) Soityetzdeux valeurs d’adhrence de(Rkx, k≥1), montrer pour tous les entiersmetl, l’identit suivante:
y−z=Rl(Rmx−z)−Rm(Rlx−y).
24) Montrerque la suite(Rkx, k≥1)a exactement une valeur d’adhrence.
25) Montrerqu’il existe une matriceRtelle queRx= limRkxpour tout k→+∞ n x∈CetlimkRk−Rk1= 0. k→+∞
26) MontrerqueTetRcommutent.
2 27) MontrerqueRT=RetR=R.
28) CaractriserRen fonction deKer(T−In)etIm(T−In).
29) Onadmet queKer(T−In)est de dimension1. Pourx∈B, expliciter Rxen fonction dekxk1,kx0k1etx0.
FIN DU PROBLME
Ce thÉorÈme possÈde d’innombrables applications. L’une des derniÈres est son utilisation dans le classement (PageRank) des pages Web effectuÉ par le plus connu des moteurs de recherche.
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