Mathématiques I 2006 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC
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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2006 sur Bankexam.fr.
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option scientique
MATHEMATIQUESI
Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Dans tout ce problème, la lettrendésigne un entier supérieur ou égal à2et on note[1; n]]lensemblef1;2; :::; ng. On rappelle quune permutation de[1; n]]est une bijection de[1; n]]Par ailleurs, on notesur lui-même. Snlensemble des permutations de[1; n]]; Mn(R)lespace vectoriel des matrices carrées dordrenà coe¢ cients réels ; Mp;q(R)lespace vectoriel des matrices àplignes,qcolonnes à coe¢ cients réels ; mi;jlélément générique dune matriceM, cest-à-dire le réel situé à lintersection de lai-ième ligne et de la j-ième colonne deM; t Mla transposée dune matriceM. Lorsqueappartient àSn, on appelle matrice de la permutationla matrice deMn(R)notéePdont le terme 2 génériquepi;jvérie :8(i; j)2[1; n]]; pi;j= 1si(i) =jetpi;j= 0sinon. 0 1 0 1 0 @ A Par exemple, pourn= 3et2G3dénie par(1) = 2; (2) = 3; (3) = 1,P= 00 1. 1 0 0 On sintéresse dans un premier temps à lensembleEndes matricesMappartenant àMn(R)vériant la propriété n n X X suivante :8i2[1; n]];8j2[1; n]]; mi;k=mk;j. k=1k=1 Dans ce cas, leur valeur commune sera notée!(M).
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Partie I : Etude de lensembleEn. 0 1 1 1 B C . On noteJla matrice dordrendont tous les coe¢ cients sont égaux à1.cest-à-dire égale à @ ...AetUla 1 1 0 1 1 B C matrice colonne ànlignes égale à@ A. . 1 1. Généralités. (a) MontrerqueEnest un sous espace vectoriel deMn(R)et que lapplication!:En!RM7!!(M) en est une forme linéaire. (b) LorsqueM2Mn(R), établir que :M2Ensi et seulement siUest vecteur propre commun àMet t Massocié à une même valeur propre. (c) VérierqueEnest stable pour le produit matriciel et préciser!(M N)en fonction de!(M)et!(N) lorsqueMetNappartiennent àEn.
2. DimensiondeEn.
(a) Montrerque le noyau de!et la droite vectorielle engendrée parJsont supplémentaires dansEn. 2 (b) Pour(r; s)2[2; n]], on noteAr;sla matrice deEndont tous les éléments sont nuls sauf les quatre éléments :a1;1; ar;s; a1;s; ar;1qui sont tels que :a1;1=ar;s= 1eta1;s=ar;1=1. Montrer que la famille(Ar;s)(r;s2est libre puis quelle est génératrice du noyau de!. Endéduire )2[2;n] la dimension deEn. 3. Unefamille génératrice deEn. (a) Etablirque pour toute permutationde[1; n]], la matricePappartient àEnet que les matricesP sont les seules matricesMdeEntelles que!(M) = 1nadmettant quun seul élément non nul par ligne et par colonne. (b) crirela matricePcorrespondant à la permutationdeSndénie par : 8k2[1; n1]]; (k) =k+ 1et(n) = 1 2 3n Préciser les matrices :(P);(P); : : : ;(P). (c) ExprimerJFaire de même avec chaquecomme combinaison linéaire de matrices de permutations. 2 matrice du typeAr;squand(r; s)2[2; n]]: onpourra se limiter aux matricesA2;2etA3;2(sin>3) et donner une décomposition explicite de ces deux matrices en combinaison linéaire de matrices de permutations. 2 (d) Prouverquil existe(n1) +1permutations ; ;: : : ; 2de[; : : : ; P) 1 2(n1) +11; n]]telles que(P1; P22 (n1) +1 soit une base deEn. Que représente la somme des composantes dune matriceMdeEnrelativement à cette base ?
Les deux parties suivantes du problème sont indépendantes de la partie I
On sintéresse dans toute la suite du problème à lensemble des matricesMdeEndont tous les élémentsmi;jsont + positifs ou nuls.On noteEcet ensemble. n
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+ Partie II : Etude de lensembleE n + 1. MontrerqueEest stable pour le produit matriciel et que pour toute famille(1; 2; :::; p)de permutations n p X + de[1; n]]et toute famille(1; 2; :::; p)de réels positifs ou nuls,kP2E. kn k=1 Dans cette partie, on admettra que: 8M2Enf0g;92Stel quem m m >0 n n1;(1) 2;(2)n;(n)
+ 2. (a)On suppose queest une telle permutation associée àM2Enf0get on désigne par n c= minfm ;:::; mm ;g: 1;(1) 2;(2)n;(n) + Montrer que :McP2E. n + (b) Endéduire que pour toute matriceMdeEnf0g, il existep2N,ppermutations1; 2; : : : ; pde n p X ent positifs tels q. [1; n]]etpréels1; 2; :::; p:strictem ueM=kPk k=1 + 2 (c) Montrerquune matrice deEpossédant au moinsnn+ 1termes nuls est nulle ; en déduire que : n 2 16p6nn+ 1. 0 1 3 1 2 @ A (d) Exemple: lorsqueM= 31 2, exprimerMcomme combinaison linéaire à scalaires strictement 0 4 2 positifs de matrices de permutations de[1;3]] n 3. Uneapplication :Lespace vectorielRest muni de sa structure euclidienne canonique et on notey >< x; n le produit scalaire de deux vecteursxetydeR. Ondésigne par(u1; u2; :::; un)et(v1; v2; :::; vn)deux bases n orthonormales deR.
+ et (a) Vérierque la matriceMu;v= (< vi; uj>)appartient àEndonner la valeur de!(Mu;v). Lorsqueest une permutation de[1; n]], préciserMu;vdans le cas où(v1; v2; :::; vn) = (u ;:::; uu ;). (1)(2)(n) n (b) Onintroduit lendomorphisme symétriquesdeRdont(u1; u2; :::; un)est une base orthonormale de diagonalisation et de valeurs propres respectivement associées1; 2; :::; n. 0 1 1 2 On notela matrice colonneB C. @ A . n 0 1 < s(v)>; v 1 1 B C Montrer légalité matricielle :@ A=Mu;v. . < s(vn); vn> (c) En utilisant la questionII.2.b, établir que pour toute forme linéairefdeMn;1(R), il existe deux 0 permutationsetde[1; n]]vériant :f(P)6f(Mu;v)6f(P). 0 (d) Onsuppose que :66 6etr2[1; n]]. 1 2n Trouver une forme linéairefpermettant den déduire les inégalités :
r rr X XX 6< s(v)>; v6 k kk nr+k k=1k=1k=1
Que représente le terme< s(v); v>dans la matrice desrelativement à la base(v ;v ;:::; v)et k k1 2n pouvez- vous donner une interprétation matricielle des inégalités obtenues ci-dessus ?
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Partie III Lobjet de cette dernière partie est la justication du résultat admis dans la partieII.1. 2 Lorsque(p; q)2[1; n]], on appelle sous-matrice de type(p; q)de la matriceMappartenant àMn(R)toute matrice extraite deMen supprimant deM nplignes etnqcolonnes. 1. Lorsqueest une permutation de[1; n]]etMun élément deMn(R), expliciter le terme générique des matricesPMetM P1. Commentobtient-on ces deux matrices à partir deM? 2. Onsuppose queMappartient àMn(R)et quelle contient une sous-matrice nulle de type(p; q). X0 0 (a) Montrerque :9; deux permutations de[1; n]]telles quePM P=avecX2Mp;nq(R), 0 Z Y Z2Mnp;nq(R)etY2Mnp;q(R). + (b) Endéduire que siMappartient àEnf0g, on ap+q6n. n 3. Ondésire établir la propriété(Pn)suivante :siMappartient àMn(R)et vérie lhypothèse(Hn) :82 S: : : mm m= 0, alorsMcontient au moins une sous-matrice nulle de type(p; q)avec n1;(1) 2;(2)n;(n) p+q=n+ 1.
(a) Levérier pourn= 2. (b)nétant supérieur ou égal à3, on suppose que la propriété(Pk)est vériée pour toutk2[2; n1]]. On désigne parMune matrice appartenant àMn(R)et vériant(Hn). Etablir queMcontient une sous-matrice de type(n1; n1)vériant(Hn1). X0 0 En déduire que :9 ; 2Sn;9p; q=p+q=ntels quePM P=avecX2Mp(R); Z2 0 Z Y Mq;p(R)etY2Mq(R). Montrer queXvérie(Hp)ouYvérie(Hq). 0 00 0 En déduire alors queMcontient une sous-matrice nulle de type(p ; q)telle quep+q=n+ 1et conclure. 4. Montreralors, à laide de 2) b) que : + 8el que: : : m>m m0 M2Ennf0g;92Snt1;(1) 2;(2)n;(n)
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