Mathématiques I 2005 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management
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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques I 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2005 sur Bankexam.fr.
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ESCP 2005, math I, option scientifique
Ceprobl`emesecomposedetroispartieslargementind´ependantes,meˆmesi introduitsdanslapartieIIseretrouventdanslapartieIII.LapartieIe´tudie coupleale´atoiresuivantuneloitrinomiale.LapartieIIe´tudielesloismarginales LapartieIIIproposeunecaracte´risationdelaloidePoisson.
certains objets un exemple de d’un tel couple.
Partie I Onconside`re,danscettepartiedesentiersnaturelsnonnulsn,u,d,tetbanifit,erv´u+d+t=b. Une urneUcontientbboules, parmi lesquellesum´nulentteorspleuob,re1odre2oun´melett lenum´ero3. Uneexp´erienceconsisteenntirages successifs d’une boule de l’urneUavec remise. ` A chaque tirage, toutes les boules de l’urneUee.sit´rteerdnetˆ’omeˆmorpeibab´til Lemod`elechoisipourcetteexpe´rienceestl’espaceprobabilise´(Ω,T, P) dans lequel l’univers Ω n est l’ensemble{1,2,3}desnsne’ledselbme’´sd-eutplntme´eel{1,2,3}, et la tribuTest l’ensemble P()Ωborplibae´tispdetiardeeslaΩ,Puoe´te´tnoiuqseseelemtnedhspyto`h´eduisantnatureldes serontformule´es. Aucun tirage n’influe sur les autres en cela que, si une suite quelconque (Vk)16k6nde variables al´eatoiresd´efiniessurl’espaceprobabilise´(Ω,T, P) est telle que, pour toutk∈[1, n]], la valeur de Vknedduatlte´usderudnuqe´epkbaelsiretemi`-iravselsrola,egaV1, V2, . . . , Vnsont mutuellement inde´pendantes. On noteU(respectivementD,Tavir)alal´eablered´atoiruseinfieecapse’lilabobpr(Ω´eis,T, P) dontlavaleurestlenombredeboulesnum´erot´ees1(respectivement2,3)tire´esaucoursde l’expe´rience. 1)ioere´taellairbalavarquentreMoU(`ler´apisec),eriusenutuiolleusnceodnnreosenpse´ar etsavariance.Donner,demeˆme,lesloisdesvariablesale´atoiresDetT, respectivement. 2)lesariabesvaLseotri´laeUetDenepd´inesll-entos?setnadonse.otrer´epvzefiitsuJ 3)idloavelcuallal,ae´lriotairaaelbeDres,nacse´etmrniU+Ds,norenase´psavaceetce.rian nud 4)ude´dnEaleuqerianrivacoupcoduceel(U, D`ae)tse´agel−. 2 b 5)Simulation informatique. En Pascal, siiest un entier naturel non nul, l’instructionrandom(i)rimeaeotae´luonrretten unentierchoisie´quiprobablementparmilesentiers0,1, . . . , i−1O.cneuredre`disno´corpale Pascalnomme´esimulationeecolar´uit:mmes´dce procedure simulation(var x,y,z : integer; n : integer); var k, r : integer; begin x:=0 ;y:=x ;z:=x ; for k:=1 to n do begin r := random(6); if r=0 then x:=x+1 else if r<=2 then y:=y+1 else z:=z+1 end end ; Quere´alisel’instructionsimulation (a,b,c,12), les variables Pascala,betce´tnatuttoes trois de type integer?enmmteenrponser´edeunmenaOdnde´eecr´epncieer´pxe’lcevatroppa e´tudi´eeet,enparticulier,quesoientpr´ecis´eeslesvaleursdesparame`tresu,d,tetndans la simulationpropos´ee. Dans toute la suite,m,ietjedtntnesto:eate´lsrenn,orsietuna ( m! msii+j6m = i!j!(m−i−j)! i, j 0 sii+j > m
6)nOsnoc`eiddereenuxertinstarulesket`rifiantve´k+`6n. hh iihh ii Soitω= (x1, x2, . . . , xn)eml´´eunn´ontdenocpmdeΩetnxeroatmentactek1 et`2 . Quelleestlaprobabilite´P{ω}eriatneme´le´tneemenv´´el’de{ω}? hh ii D´enombrerlesnnatraxetcteΩopmoseenlembntnal’`aasppraetu-lptenettcmek1 et` 2 . hh ii End´eduirequelaprobabilite´del’e´v´enement[U=k]∩[D=`gale`a:e]tse´ k `n−k−` n ud t n k, `b Cere´sultatreste-t-ilvraisik+` > n?
PartieII:Loismarginalesd’uncoupleal´eatoiredeloitrinomiale.
Onconside`re,danscettepartie,unentiernaturelnet l’ensembleInapinfie´dr In={(k, `)/ k∈[0, n]] et`∈[0, n]] etk+`6n} Unespaceprobabilise´(Ω,T, Porsi´reesltsirtcementpositifse´)tnatnndo,a´esiinetqup,qetr ve´rifiantp+q+rocnuelpue´laiota(re=1,onconsid`ereXn, YnruΩ(´e)disfin,T, Pursavel,)a` dansIn, et tel que, pour tout couple (k, `)∈In: nk ` n−k−` P(Xn, Yn) = (k, `) =p q r k, ` X n k ` n−k−` 1):Ve´fieriuerqp q r= 1. k, ` (k,`)∈In 2)esirtoeaerquontrMas´lbaelavirleseXnetYnsuivent toutes deux une loi binomiale (en pr´eciserlesparame`tresrespectifs). 3)On se propose de calculer la covariance du couple (Xn, Yn). a)On suppose quen>2. Prouver que, pour tout couple (k, `)∈In´vfiireantk>1 et`>1, on a : n n−2 k`=n(n−1) k, `k−1, `−1 End´eduirequeE(XnYn) =n(n−1)pq. b)Cette relation est-elle encore vraie sin= 0 ? sin= 1 ? c)´eduEndlavalericaledruenciaarov(oveCXn, Yn) du couple (Xn, Yn). 4)´lasotaeseriLesvariableXnetYnes?dantepenso-enteslld´in
PartieIII:Unecaracte´risationdelaloidePoisson. Dans cette partie, la lettrentiusselesegienlpsuen´dsetunalfireenunertiisnore`dee´xcnot (Xn)n∈Net (Yn)n∈Narsvdefiniesd´enslas,daselaailbioere´ta,ptercouquhaetraprpei´ce´nede entier natureln(Ω´eespaceprobabilissru’l,T, P). On rappelle que, pour tout entier natureln´laeelasirbaseav,lirtoesXnetYnsuivent des lois binomialesdontlesparame`tresont´ete´calcule´senII.2. Onconsid`ereparailleurs,unevariableal´eatoireNnectrumeeuˆserqsnpnoanteonstnied´efi surlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,T, P),`avaleursdans’lneesbmelNdes entiers naturels et 3 inde´pendantedetouslescouples(Xn, Yn), ce qui signifie que, pour toutn∈Net tout (i, j, k)∈N, P[(Xn, Yn) = (i, j)]∩[N=k] =P(Xn, Yn) = (i, j)P(N=k) Ond´efinitlesfonctionsX: Ω→−7NetY: Ω7→Neseri`anameldistn:eiuavNprend la valeur n, alorsX(respectivementYerp)aldnmeˆmlaveeurqueXn(respectivementYn). 2
