Mathématiques I 2005 Classe Prepa HEC (ECS) ESSEC
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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2005 sur Bankexam.fr.
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ESSEC 2005, math I, option scientifique Notations Danstoutceproble`me,onconsid`erenun entier naturel non nul. t Pour toute matriceM, on noteM.enratpasssoe´ n On identifie l’espace vectorielRmstaeledesbm’lnesonnescolriceinumased,quni`ae,sebanoca n `anlignes ; ainsi pour tout vecteurxdeRet pour touti∈[1, n]], on notexisai-i`emecoordonn´ee x1 x2 etx= . . xn nt On munitRde son produit scalaire canonique :hx, yi=xyet la norme euclidienne dexest p de´finiepar:||x||=hx, xi n Onde´signeparUune partie non vide deR. n Affonction continue deUdansR, etyvecteur deR, on associe la fonctionFyusrfinied´eU n par :x7→ hx, yi −f(x) et on noteU(fmesne’l)eve´,elbntuellementvide,edvsceetrusydeR pour lesquelsFyadmet un maximum. ? LorsqueU(fedee´ugujnocnoitnoivsent)foncellenappde,ofe´eotnnioctonaflfeiusrde´nfi ? U(f) par :f(y) = max{Fy(x)/x∈U}. Partie I Dans cette partie,n= 1 etUest un intervalle deR; ainsi le produit scalaire se confond avec le produit naturel surRet la fonctionFyetvrlaelestd´efiniesurl’inUparFy(x) =xy−f(x). ? 1)LorsqueUest un segment deR, montrer quefriesu´efinestdR. 2)Quelques exemples. ? Apre`savoire´tudi´elesvariationsdeFyr´eciser,pU(f) etfdans les cas suivants : 2 x a)U=R, f(x) =ao`uaif.ositentpctemese´xfiirtsrnutlee´ 2 α ∗x b)U=R+, f(xo=)`uαreeirua`.1x´lfieer´unste´pustnemetcirtse α 1 1 (onpourraintroduirelere´elβe´vafiir:tn+.=1 α β x c)U=R, f(x) = e. ? ? 3)Pahucuocrcaspndes´eder´ecte´d,stn(renimref.noileuQ´eeditfinemnsedblnsai)nesoueiq constat pouvez-vous faire? 2 4):equsepoupns,ontmenee´arellPsu´gU=Retfest une application de classeCsurR telle que l’image deRtincd´oniveree´etsrapofalR´erifiantpourtouttuoettneiervtxlee´r 00 f(x)>0. ´ 0 a)Etablir quefonder´esnuaeilceitbejiRsurR. 0 On notegonr´catipplil’adeeoruqcepif. b)ssrerdoiavesr`Apavseduaelbatele´del’applriationscitaoinFyassco´i`aeefety, montrer ? queU(f) =Ret que :∀x∈R, f(x) =xg(x)−f g(x) . ? ?0 Justifierlade´rivabilite´defet exprimer (f) enfonction deg. ? c)idutope´ruApr`esavoir´eyrlee´svleiaarontielsd:onticalipp’ax7→xy−f(xude´dne,)ire ? ? que : (f) =f. Partie II Onrevientauxnotationsdupre´ambule. n 1)On suppose dans cette question que :U=Retf(x) =||x||. n a)Pourtstel´erenemctritifiptsotey∈R, calculerFy(ty)etpce´rresimilFy(ty). t→+∞
n Quelle comparaison pouvez-vous faire entre les ensemblesU(f) et{y∈R/||y||61}? ? b)Lorsque||y||61, montrer que :Fy(x)6FyEn).edd´eriu(0U(f) etf. ? ? c)sire´Prce(f) . Danstoutelasuiteduproble`me,Amaneeugnymesictrise´d’ordree´rtqieu´reelldendont toutes les valeurs propres sont strictement positives. 0n0 0 On rappelle que :∀x, x∈R,hx, Axi=hAxx ,i. hx, Axi n 2)On suppose dans cette question que :U=Retf(x.) = 2 hx, Axi n n Poury∈Rniis,on´dfieinatFysurRparFy(x) =hx, yi −. 2 a)lamre´,elbat’lricaenemdrt:ennautlisignmecnahebasentdhonoeortutEn 2 2 λ||x||6hx, Axi6µ||x|| lorsqueλ, (respectivementµser(tcepmeviltneluaprasge)ndlevaru)´dseignelapluspetite propre deA. n b)Pourxethdeux vecteurs deR, exprimerFy(x+h)−Fy(x) en fonction dehh, Ahiet hh, y−Axitee´atlbquire:Fy(x+h)−Fy(x)6hh, y−Axi. n−1 c)Montrer que, pour tout vecteurydeR,Fyadmet un maximum obtenu pour :x=A y ? ?? etpre´ciserU(f),fet (f) . hx, Axi 3)tionqu’aureOnrpneldmaeˆemofcn2),c’esrid-a`-tef(x) =mais dans cette question, 2 n on suppose queUnepaestuedednee´ivnoe,exrmfeiertnvcoR. n n Onprolonge,defa¸connaturelleetpourtoutydeR,Fya`Ren posant : hx, Axi n ∀x∈R, Fy(x) =hx, yi − 2 a)Existence d’un maximum. n •Montrer que :∀y∈R,limFy(x) =−∞eirdu´endurpoueeqx0∈U: ||x||→+∞ il existerre´vnafii(ttsrictementpositif||x||> r=⇒Fy(x)< Fy(x0)). ´ n n •Etablir que l’ensembleU0=U∩ {x∈R/||x||6r}netuesorn´eedebteee´mrefeitrapR n etend´eduireque:U(f) =R. b)xameltna.mumi´eitund’icUne´rtsila´le´neme 0n •Pourxetxdeux vecteurs deUety∈Rrlarabliion:elat´,te 0 00 0 x+x Fy(x)Fy(x)hx−x ,X(x−x)i Fy− −= 2 22 8 0 •En supposant quexetxltnasilae´rstcnistdirseuctveuxdesontdeimumemaxFy, montrer 1 ?0 que :f(y)< Fy(x+xnocedartlbatnuripu)´eisiction. 2 Partie III n Dans toute cette partie,csegiennu´devecteurdRetBrracnee´tameeciraunnuone`llnlignes etncolonnes. Onreprendlamˆemefonctionetlesmeˆmesconventionsqu’enII.3)et on choisit pourUl’ensemble n des vecteursxdeRfiire:tnav´Bx=c. On note ImMet KerMrpmodoenanecsmhiemeuqinoicossatnl’imltnegaeeed’lyouaa`e´enu matricecarr´eeMd’ordren. n On suppose quec∈ImB; ainsiUstuneparededevionene´mrefexevnoceitR(on ne demande pasdelev´erifier). n D’apr`eslesre´sultatsobtenusdanslapartieII, on sait que pour toutydeR,Fyadmet un unique vecteurxtrappaa`tnaneUdmeixumealietr´lemasantFy. L’objectifdecettepartieestdedonnerunecaracte´risationdexemedlaogirhtunirblta´ed’et recherche. 2
1)isatt´ereiondcaraCx. 0n0t0 a)irefiVe´opruoqtrteuux,xdeR,hx, Bxi=hBx, xi. t⊥ ⊥ Montrer que : ImB⊂(KerBangnsi´ende)ptraK(reB) l’orthogonalde la partie KerB. t⊥ Justifierl’´egalite´desdimensionsdeImBet de (KerB)ee´udetdn:ueeqir t⊥ ImB= (KerB) t ( On admettra que : rg(B) = rg(B) ). b)Lorsquehest un vecteur de KerBett:noitalerae´rn´,lebatelrilu hh, Ahi 2 Fy(x+th)−Fy(x) =thy−Ax, hi −t 2 n End´eduirequexape´e’lr´tcasiredestxiceentcaresz∈Rltseedxu´vrefiinans:etconditio t Bx=cety−Ax=Bz. 2)Un algorithme de recherche dex. n Ond´esigneparremcttpenitosetifurntsire´lez0un vecteur deRtond´efinitlessuietse n (zp)p∈Net (xp)p∈NdeRpar : t ∀p∈N, Axp−y+Bzpet= 0zp+1=zp+r(Bxp−c) a)ssteuixsndietboneseinfie´elle’uqtrifiesv´esdeuntletaoirxlesn:oMtnerqreueldsue t A(xp−x) =B(z−zp) etzp+1−z=zp−z+rB(xp−x) b)Montrer que : 2 22 2 ∀p∈N,||zp+1−z||=||zp−z|| −2rhxp−x, A(xp−x)i+r||B(xp−x)|| c)ee’drorde’unematricecarr´meno´Dncedistel’extrernys´mteerportssetci-quriave`eualprrs 1/2 1/2 2 mentpositivesnot´eeAte´vna(trefiiA) =A. −1/2 1/2 On noteAla matrice inverse deA. −1/2 2−1/2 t−1/2n •Montrer la relation :||BA x||=hx, ABBA xipour toutxdeR. ´ −1/2 t−1/2 •Etablir que la matriceA BBAguretusqepelqsualreiveatdme´asnyetrspeorpru αest strictement positive . n2 •tourute´udEdneuopriqexdeR, on a||Bx||6αhx, Axi. i h 2 d)On choisitr∈0,. α 2 2 Montrer que :||zp+1−z|||| −zp−z||6r(rα−2)hxp−x, A(xp−x)i60. End´eduirequelasuite(||zp−z||)p∈Nest monotone convergente, puis quexpconverge vers x.
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