Mathématiques I 2003 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts
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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.
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A 2003 Math PC 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePC (Dur´eedel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC. Cet´enonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur d’e´nonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamene´`aprendre.
L’objetdeceprobl`emeestd’introduiresuivantunem´ethodeoriginalelafonc-tionΓetdede´terminer,a`l’aidedecettefonction,uneexpressiondel’int´egrale Isuivante : π/2 I(ln (tan= lnx))dx. π/4
Premi`erepartie
Ilestadmisque,silafonctionre´ellef,alrvleunurtein´dfieinseIde la droitere´elleR,pouvexetcon,esorsiticeetustruoeer´isroetedntsaslx1,x2,x3, (x1< x2< x3a)ppraetantn`al’intervalleI, les valeurs prises par cette fonction encespointsve´rifientlarelationsuivante:
f(x2)−f(x1)f(x3)−f(x1)f(x3)−f(x2) ≤ ≤. x2−x1x3−x1x3−x2
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SoitFctioefononnuninc0]nu-dmiitrouveoteer´d,einfieruseedal,∞[, prenant des valeurs strictement positives (F(x)>0,)uqvie´irefielrospi´pr´eets suivantes : i.eltr´euopuotrxstrictement positif : F(x+ 1) =x F(x). ii.La fonctionx→−lnF(x) est une fonction convexe. iii.La fonctionFprend la valeur 1 en 1 : F(1) = 1. Encadrement deF(n+x)et deF(x): Danslesquatrepremie`resquestions,xnerlt´uepeasapenrtt`ani’laretnllave semi-ouvert ]0,1] etneuri´eupalegu´ro(2a`nuneitreanutersln≥2). 1.De´montrerlesin´egalit´essuivantes:
lnF(n+x)−lnF(n) lnF(n)−lnF(n−1)≤ ≤lnF(n+ 1)−lnF(n). x
2. CalculerF(nrdacnenueriude´d).EnetdenemF(n+xal)`edxudesea’di x x expressions (n−1).(n−1)! etn .(n−1)! .
´ 3. Etablirla relation qui lie, pour tout entierpre´pusieurou´egal`a1(p≥1), F(p+x)a`F(x).
4.End´eduirelesine´galite´ssuivantes: x n nn! F(x)≤ ≤F(x). x+n x(x+ 1). . .(x+n)
Unicite´delafonctionF: Dans les questions 5 et 6, il est admis qu’il existe une fonctionF,positive (F(x)>0rte]´e,d0)rlsuiefinrd-imedaevuoetio,∞[rifia,v´ehspytnelseseto`h i,iietiii. ´ Etantdonne´unentierstrictementpositifn,soitunruseinfie´dnoalofcnit la demi-droite ouverte ]0,∞[ par la relation suivante : x n .n! un(x) =. x(x+ 1). . .(x+n) 5.D´eterminer,ensupposantler´eelxtimo-vurepravratlelnesier`al’inatpe ]0,1], la limite de la suite (un(x))∗lorsque l’entiern.tminee´nfiitdnroˆıc n∈N 6.Ende´duirelalimitedelasuite(un(x))∗lorsque l’entierncroˆıt n∈N ind´efiniment,pourtoutr´eelxstrictement positif.
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7.End´eduirequ’ilexisteauplusunefonctionF-imeiorduseidalrdfin´ete ]0,∞[,vi,e´vreneptsotistrictemse´t´eriopprestlanifii,iietiii.
FonctionΓ: Soitkaeiutursel´rnqfienoai0d]nendoltpclaf,∞[×]0,∞[ par la relation suivante : x−1−t k(x, t) =.t .e ´ 8.Etudier,pourunr´eelxdonn´e,l’ie´tnbargtiliede´folatinc:ont→− x−1−t t .esur la demi-droite ouverte ]0,∞[. SoitΓlafonctionde´finiesurlademi-droiteouverte]0,∞[ par la relation suivante : ∞ x−1−t Γ (x) =t .edt. 0 ´ 9. Etablir quecette fonction Γ est strictement positive (Γ(x)>0). ´ 10.EtablirquecettefonctionΓestdeuxfoiscontinuˆmentd´erivablesurla demi-droite ouverte ]0,∞rpxeselrennoD.[sire´rceseP.vie´d´erecesonsdessi l’expressiondelade´rive´edelafonctionΓpourx= 1, Γ´(1),au moyen d’une int´egrale. Existence de la fonctionF: 11.De´montrerquelafonctionΓestlafonctionFtedu´snoiuestlesqdansi´ee pre´ce´dentes. Il est admis, dans la suite, que la constante d’Eulerγd´stniefiareplae relation suivante : n 1 γ= lim−lnn . n−→∞ k k=1
Valeur deΓ´(1): Soit (gnl)edetiusaoitcnofsrteouientp,setruo´dsninfiensuerp´eiruuo n≥1 e´gal`a1(n≥1), sur la demi-droite ouverte ]0,∞[ par la relation suivante : n x gn(x) =xlnn−lnx−+ln 1. k k=1 12.D´eterminer,a`l’aidedesre´sultatsobtenuspre´c´edemment,lalimitede gn(x) lorsque l’entiern´reeeuelˆorclrsl’ıtveietqinfinx-edimaap`atlreiptan droite ouverte ]0,∞[.
Soit (vnruottunenfiei,soptieriusal)´esdontincfodeten´erieurousup n≥1 e´gala`1(n≥1), sur la demi-droite ouverte ]0,∞[ par les relations suivantes :
v1(x) =g1(x) ;pour tout entiernup´erieurou´egala`,2svn(x) =gn(x)−gn−1(x).
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∗ 13. Ilest admis que chaque fonctionvn, n∈Nctseitnomuˆndtneri´eblvae;, ∗ d´emontrerquelase´riedesfonctionsd´erive´es,determeg´ene´ralvn´(x), n∈N, est convergente pour toutxfptisuuintmesipotnemvnocofine´mrergentecietsrt sur tout segment [a, b] contenu dans la demi-droite ouverte ]0,∞[.
14.Ende´duirelalimitedelasuitedesfonctionsde´rive´esgn´.
15. Quevaut Γ´(1) au moyen de la constante d’Eulerγ?
Seconde partie
Soitsfiti(st´ectrienemostpurne´leodnns >0). FonctionL: ´ 16.Etudierlaconvergencedelase´riedetermeg´ene´ralwn, n∈N,pei´ndfira la relation suivante : n (−1) wn=s. (2n+ 1)
SoitLald´efiniesfonctionoetiord-imedalru]0teeruv,∞[ par la relation : ∞n (−1) L(s) =s. (2n+ 1) n=0 17.D´emontrerquelas´erieentie`redetermeg´en´eral n (−1) 2n+1 x ,n∈N, 2n+ 1 estuniforme´mentconvergentesurlesegment[0,1]. Soitϕ(x) la somme de cettese´rie: ∞n (−1) 2n+1 ϕ(x) =x . 2n+ 1 n=0 De´terminerlafonctionϕefid´0esmgne[tinseruel,1].´eduireEndL(1).
18. Soiths]e0evtremi-rladteoudroifin´esuiectonndiofal,∞[, par la relation suivante : lnx hs(x) =. s x ´ Etudier les variations de la fonctionhsfie´ditinS.notiorssuenonmbsedelexs l’abscissedumaximumdecettefonction.Pre´ciserlesvariationsdelafonction s→−xs.
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