Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunentiernaturelpup´esor´uiruea`.2gelauttourPoertien naturelq, on noteRq[X] (resp.Cq[Xl]e’atorielr´spacevecmoc.xelp(leepserˆoyns`medee)olsp coefficientsre´els(resp.complexes)dedegre´auplus´egal`aqteemrnfaucrodprooOnnol.epˆoyn fonctionpolynomialeassoci´ee. On noteSR(resp.SC.elpm)sexlee´rleioc.pser(paesl’)orctvecellse´ree.pocr(sexe)dmpleitesessu Pr´eliminaire p p−1 Onconsid`erelafonctionr´eellefatoutr´equi`lexpositif ou nul associef(x) =x−x−1. 1)a)Donner le tableau de variation de la fonctionf. b)taulesr´anivsuts:stdne´Eleseudri •la fonctionfes’annuleuneseulefioesunrne´leon´tCqustieristemctstnee´puueir1a`r. •eeltu´rruotopxlee´,lerunultifoposif(x) est strictement positif si et seulement sixest strictementsup´erieura`C. 3 2)Dlsnaulicroieasecrtpatienl’`uerpc,4a`lagrerapmo´esteCet . 2 Partie I On rappelle que siaest un nombre complexe etQ(Xelexasolsr`acoefficientscomppnu)nyloemoˆ lepolynoˆmeQ(X) est divisible parX−asi et seulement si le complexeQ(a) est nul. 1)Soitaun nombre complexe,nenunertigal`a2etmuiosne´anuteralP(Xa)unpolynˆome` n X k coefficientscomplexesdedegr´enriecntva’´sP(X) =αkX. k=0 n k−1 X X k−i−1i ´ a)egalrl’´abliEt:tie´P(X)−P(a) = (X−a)Q(Xuo`)Q(X) =αka X. k=1i=0 2 b)emoEdne´duirequelepolynˆP(X)−P(a) est divisible par (X−a) siet seulement si le n X k−1 nombre complexekαkaest nul. k=1 ` c)Aqonecllueletnmonesteeasffiuesecirsatidin´onexebrecomplaest-il racine au moins double dupolynˆomeP(X) ? p p−1 2)uqrertnoMˆomeolynelepX−X−1 apracines simples dansCet qu’elles sont toutes nonnulles.Cesracinesserontnot´eesZ1, Z2, . . . , Zpavec la convention queZpgelase´ta`C. ´ 3)a)Etablir, pour tout couple (x, y:´eitalegn´’ideno)sel,lpxecsmobmer|x| − |y|6|x−y|. Quand a-t-onl’´egalit´e? ´ b)Etablir, pour tout entierktel que 16k6p:eil´tni’lage´,|Zk|6C. c)Montrer que sikest un entier tel que 16k6peg’´,l´eital|Zk|=Cn’a lieu que sikest´egal `ap. p 4)Soitθl’application deCp−1[X] dansCexelpmocemˆoynoltpouati`quP(Xed)´eaudegr p plus´egal`ap−le´’osic1sa´eelntmeZ1P(Z1), Z2P(Z2), . . . , ZpP(Zp) deC. a)Montrer que l’applicationθest un isomorphisme. p b)ent(l´emuiedd´En,eoperuqtue´ruotu1, u2, . . . , up) deCunteiqun´eueeml´netli,sixe p (λ1, λ2, . . . , λp) deCv´erifiant λ1Z1+λ2Z2+∙ ∙ ∙+λpZp=u1 2 22 λ Z+λ Z+∙ ∙ ∙+ 1 12 2λpZp=u2 . .. . pp p λ Z+λ Z+u 1 12 2∙ ∙ ∙+λpZp=p
5)On noteFl’espace vectoriel complexe des suites complexesu= (un)n∈Nruo´evafiirp,tn ∗ tout entiernrictemenstue`rastpue´irptilage´l’,e´un=un−1+un−p. Autrement dit, on a :
F={(un)n∈N∈ SC;∀un > pn=un−1+un−p} ∗ a)quere´VfiireFest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel complexe des suites complexes. b)Montrer que, pour tout entierkis´ntneltie´gelas1´evfiari6k6pirte´moeeuq,lteg´asui n (Z)n∈Ndet´esntme´eelF. ∗ k c)Soitu= (un)n∈Nenemetdiuete´´lnuseFet soit (λ1, λ2, . . . , λpdusytionsoluique)nu’lemtse` ∗ λ1Z1+λ2Z2+∙ ∙ ∙+λpZp=u1 2 22 λ Z+λ 1 12Z+∙ ∙ ∙+λpZp=u2 2
. .. . p p p λ1Z+λ2Z+∙ ∙ ∙+λpZ=up 1 2p p X n lasuitecomplexedetermege´n´eλ On notev= (vn)n∈Nralvn=kZk. ∗ k=1 Montrer que les suitesuetvntsoga´e.sel n nn d)(Montrer queZ) )est une base deF. 1n∈N,(Z2n∈N, . . . ,(Z)n∈N ∗ ∗∗ p Partie II 1)Pour tout entier naturelqecri’tladpiael`pocsno,iΦnnoqdeRq[Xota`iuqetudans]mˆemlui- polynˆomeA(X) deRq[Xosiclepelonyoˆem:Φas]qA(X) =A(X)−A(X−1)−A(X−p). Montrer que l’application Φqest un automorphisme deRq[X]. 2)SoitQ(XOnnotesr´eels.lypoun)tneicffieoca`emoˆnEQl’ensemble des suites complexes u= (un)n∈Ntfiuiorter,utnoaprei´tvnenmeteictrerp´sunta`eirusp,t´e:agil’le´ ∗ un=un−1+un−p+Q(n). Autrement dit, on a : EQ={(un)n∈N∈ SC;∀un > pn=un−1+un−p+Q(n)} ∗ a)oˆnylopeuqinunuestxile’iquertrone´n,toeesltsr´ciencoeffime`aMA0(X), tel que la suite A0(n)∗´tsee´lementdeEQ. n∈N b)Prouver qu’une suite complexeu= (un)n∈Nentdeest´el´emEQsi et seulement si la suite ∗ un−A0(n)∗`tlaitneppraarielectoacev’espFeuqalsnadinfie´dniostI-5). n∈N c)eduirequepourtouedt´uEsnti(eun)n∈N´eelntmede´EQ(le,itsix´nuee´letnemα1, α2, . . . , αp) ∗ p deCtel que, pour tout entier naturelnnno,lunnoel´atgie´’l:a n nn n u=α Z+α Z+∙ ∙ ∙+α Zα C+A n2 21 1p−1p−1+p0(n). d)Soit (un)n∈Nune suiteellee´rme´le´etdenEQ,soisqueentec´edrpe´oisneutsedqsreuiedD´.t ∗ n ilexisteunr´eelαnon nul tel queun∼αC, soit la suite (un)n∈Nets´ngeildeleabgelantva ∗ n n suite (C)n∈Ndire-`a-tse’cun= o(C). ∗ 3)SoitQ(Xicneocffiepenmal`onyuo)ˆote.Onneelstsr´IQussedelbmesne’leslleer´esit u= (un)n∈Nrefiina,t´ventierpourtoutnustnre´pcirtemetsurie`ape:lit´inl’ga´e, ∗ un6un−1+un−p+Q(n). Autrement dit, on a : IQ={(un)n∈N∈ SR;∀un > pn6un−1+un−p+Q(n)} ∗ a)Soit (wn)n∈Nitsu´eerleell´´enemeedtuenFa`temrseetstrictement positifs. Pour tout ∗ r´eelaet tout entier naturelnnon nul, on poseva,n=awn+A0(n) et on notevala suite (va,n)n∈N. ∗ 2