ESCP-EAP 2002, math 1, option scientifique. Danstoutleproble`me,nnentgneuup´eiersor´uiruea`.2geladise´ ∞ Onconsid`ereunefonctionre´ellefde classeCsur [−1,1], et on noteI(f:ela)ltni’rge´ Z 1 f(x) dx. −1 Pour tout entier naturelknon nul , on pose : (k) (k) Mk(f) =supf(x)uo`,fee´vro’derd´edgnsiadelri´ekdef. x∈[−1,1] Lespolynˆomesconsid´ere´ssont`acoefficientsr´eels,etonconfondpolynˆomeetfonctionpolynomiale associ´ee. Pour tout entier naturelm, on noteRm[X] leRreuri´efnie´rgededsemoˆdespolynectoriele-pscave oue´gal`am. On rappelle que sir1, r2, . . . , rpˆoynolnpmerascointdes´eelnesrsiiteldsdsu’cnetP, avec des p Y ki multiplicite´srespectivesk1, k2, . . . , kpisexuntelypoomnˆea,olsrliQtel queP=Q(X−ri) . i=1 Enfin,a1, a2, . . . , anesigd´tnenn`xuedslee´rdetsnctiisxdeuad[−1,1], et on noteAnˆome:lepolyn n Y An= (X−ai) i=1 L’objetdeceprobl`emeestl’approximationdeI(flonynopsel.smoaiales´egrnctidefop)tnisedra Pr´eliminaire ´ 1)nonElrec´hte`roeemedeRolle. n 2)Soitgune fonction de classeCsur [−1,1], s’annulant enn+ 1points distincts de [−1,1]. a)ntreMoeviredee´euqr´dalgs’annule en au moinsnpoints distincts de ]−1,1[. (n) b)ilexistMeontrerqu’nu´reelcde ]−1,1[ tel queg(c) = 0. Partie I Danscettepartie,onvaproposercommevaleurapproche´edeI(f)alraelboetunege´tni’ledruelav enrempla¸cantlafonctionffne´´rieor´uirue`aegalpalracnofnoitlypominoedalegedn−1, introduite ci-dessous, qui co¨ıncide avecfsur chacun des pointsai. Y Pour tout entieride{1,2, . . . , n}, on noteLielopyle:omnˆLi= (X−ak). k∈{1,...,n} k6=i Par exemple, sin= 3,a1=−1,a2= 0, eta3= 1, alors :L1=X(X−1),L2= (X−1)(X+ 1), L3=X(X+ 1). 1)a)eitnesuosr´erifierque,pourtVietjde{1,2, . . . , n}eelr´le,Li(aj) est nul lorsqueiest diff´erentdej, et est non nul lorsquei´tgese`aalj. b)Montrer qu’il existe ununiqueome,quelpolynˆo’nntoePfurie´eouin´eerf´,ededrg`laga n−1, tel que, pour tout entierjde{1,2, . . . , n}ilage´’l,onae´tPf(aj) =f(aj), et que ce polynoˆmeestdonn´eparlaformule: n X f(ai) P=Li Li(ai) i=1 Z 1 1 2)Pour tout entieride{1,2, . . . , n}, on pose :δi=Li(x) dx. L(a) i i−1 Zn 1 X Montrer que :Pf(x) dx=δif(ai). −1 i=1 Zn 1 X Dans toute la suite, on note :Jn(f) =Pf(x) dx=δif(ai). −1 i=1
3)Que peut-on dire deI(f) etJn(f) lorsquefri´ereulaimdede´rgefnienefonctionpolynoseut oue´gal`an−1 ? 4)Soitxeln´u[ede´xfitneme´−1,echanctdisti1],deeslse´rucdnai. a)’erlstxiusJfietiee´rlecnenu’dλ’´egaliterifiantl´ve´:f(x)−Pf(x)−λAn(x) = 0. On note maintenantgλnouqacituort`ita´eellipp’altde [−1,1] associe : gλ(t) =f(t)−Pf(t)−λAn(t) b)Calculergλ(ai) pour chaque entieride{1,2, . . . , n}. (n) c)e´rnleMnotrerqu’ilexisteucde ]−1,1[ tel queg(ce´atupsi’le´lbrit´e:gali0,)= λ (n) f(c) λ= n! Mn(f) 5)dnEqeriude´rtou,pueel´etrouxde [−1,1],|f(x)−Pf(x)|6|An(x)|. n! puis´etablirl’ine´galite´: Z 1 Mn(f) |I(f)−Jn(f)|6|An(x)|dx n! −1 ´ 6)Etude d’un cas particulier Dans cette question, on suppose quea1=−1,an= 1 et quea1, a2, . . . , ansontr´epartis 2(i−1) re´gulie`rement,c’est-`a-direque,pourtoutentieride{1,2, . . . , n}, on a :ai=−1 +. n−1 a)Soitkun entier tel que 16k6n−1 et soitx´reedl[enuak, ak+1:e´tilage´ni’lrfietius.J] n 2 |An(x)|6k!(n−k)! n−1 n 2 b),deeoipuneEr´udqtu´rruoteelxde [−1,1], on a :|An(x)|6(n−1)!. n−1 c) On admetque, quand l’entier naturelpte:tendveri’lsinfinano,e´’livquenalsuceaniv pp p p!∼2πp. e Montrer que, si l’entiernr´eelgrezsstaestuotruop,ano,dnaxde [−1,1], la majoration : n 2 |An(x)|6 e Partie II Danscettepartie,onvaproposercommevaleurapproch´eedeI(f)int´del’leobegrauneteelrualav enremplac¸antlafonctionfa`lage´uourieerf´in´egrdearpionpolynomialedenucereatnifenotc 2n−1uq,dnetaoixomiappreunealisir´efplus fine que la fonction polynomiale de la partie pre´c´edente. 0 PourtoutpolynˆomeQ, on noteQlpeedd´eriv´eolynˆomeQ. 2n 1)snoce`dinOaticniol’replapTdeR2n−1[X] dansRpar:finied´e 0 00 ∀Q∈R2n−1[X], T(Q) =Q(a1), Q(a2), . . . , Q(an), Q(a1), Q(a2), . . . , Q(an) 2n a)Montrer queTdeaireesnetulppatacilnoie´niR2n−1[X] dansR. b)Montrer queTest injective (lepparnolreneu´’uqelaest racine au moins double d’un 0 polynoˆmeQsi et seulement siQ(a) =Q(aequeriude´dnE.)0=)Test bijective. c)dentec´enpr´stioqaeueslritilUolynˆome,not´eixeluetsinunpeuqoueponrmertr’iquQf, de degr´einfe´rieuroue´gal`a2n−1, tel que, pour tout entierjde{1,2, . . . , n}: 0 0 ) etQ(a) Qf(aj) =f(aj fj) =f(aj (on ne demande pas d’expliciterQf) 2