CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION BL MATHEMATIQUESII Année 2002
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On appelledurée de viedun composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusquà sa première panne éventuelle.On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoireTdénie sur un espace probabilisé(;B;P), à valeur dansR+. SiFest la fonction de répartition de cette variable aléatoire, on appelleloi de surviedu composant la fonctionD dénie surR+par: 8t2R+; D(t) = 1F(t) Le problème se compose de deux parties pouvant être traitées indépendamment.
Partie 1 :Cas discret
On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire à valeurs dansN. Un premier composant est mis en service à linstant0et, quand il tombe en panne, il est remplacé instantanément par un composant identique qui sera remplacé à son tour à linstant de sa première panne dans les mêmes conditions, et ainsi de suite. On suppose alors que, pour tout entier strictement positifi, la durée de vie dui-ème composant est une variable aléatoireTi, dénie sur(;B; P), de même loi queT. Lesvariables aléatoiresTisont supposées mutuellement indépendantes. Pour tout entier strictement positifn, soitUnla variable aléatoire dénie sur(;B; P)qui représente le nombre de pannes (et donc de remplacements) survenues jusquà linstantninclus.
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A. Coe¢ cientdavarie Dans cette sous-partie, la loi de la variable aléatoireTest telle que, pour tout entier natureln, lon ait : D(n)6= 0. Un composant est mis en service à linstant0tout entier naturel. Pournnon nul, on appelle coe¢ cient davarie à linstantndu composant, la probabilité quil tombe en panne à linstantn, sachant quil fonctionne encore à linstantn1, cest-à-dire le nombrendéni par :
n=P([T=n]=[T >n1])
1) Exprimer, pour tout entier naturel non nuln, la probabilitéP([T=n])en fonction deD(n)et de D(n1), et en déduire légalité : D(n1)D(n) = n D(n1) 2) Onsuppose quepest un réel de lintervalle]0;1[et queTsuit la loi géométrique de paramètrep. a) Quelleest lespérance de la variable aléatoireT? b) Calculer,pour tout entier natureln,D(n)en fonction den. c) Endéduire pour tout entier naturelnnon nul, légalité:n=p. 3) Réciproquement,on suppose dans cette question quil existe un réel strictement positiftel que lon a : 8n2N; n=: a) Établir,pour tout entier naturel non nuln, légalité :D(n) = (1): D(n1). b) Endéduire queTsuit une loi géométrique et préciser son paramètre.
B. Nombremoyen de pannes successives dans un cas particulier On suppose, dans cette sous-partie, quepest un réel de lintervalle]0;1[, que la loi deTest donnée par :
P([T= 1]) =petP([T= 2]) = 1p:
Pour tout entier strictement positifn, soitRnla variable aléatoire dénie sur(;B; P), prenant la valeur1 si une panne survient à linstantnet la valeur0sinon. Sonespérance est notéern.
1) a)Calculer lespéranceE(T)de la variable aléatoireT. b) Calculerretr. 1 2 2) Soitnun entier strictement positif. a) Àlaide de la formule des probabilités totales, écrire une relation donnantP([Rn+2= 1])en fonction deP([Rn+1= 1])et deP([Rn= 1]). b) Endéduire légalitérn+2=p rn+1+ (1p)rn. 1 n 3) véri a) Montrerque la suite(rn)n2Ne :8n2N; rn= +B(p1)oùBest une constante 2p réelle que lon précisera. 1 b) Endéduire que lon a :limrn=: E(T) n!1 4) SoitnExprimer la variable aléatoireun entier strictement positif.Unà laide des variables aléatoires Ri, calculer lespéranceE(Un)et en donner un équivalent simple quandntend vers linni.
C. Nombrede pannes successives dans le cas dune loi géométrique On suppose à nouveau, dans cette partie, quepest un réel de lintervalle]0;1[et queTsuit la loi géométrique k P de paramètrep. Pourtout entier naturel non nulk, on pose :Sk=Ti. i=1 (Skdésigne donc linstant où se produit lak-ième panne et lek-ième remplacement.)
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1) SoitmDémontrer par récurrence surun entier naturel.n, pour tout entier naturelnvériantn>m, n P m m+1 légalité :C=C : j n+1 j=m 2) a)Déterminer la loi de la variable aléatoireS2égale àT1+T2. b) Montrer,par récurrence que, pour tout entier naturel non nulk, la loi deSkest donnée par : k1k nk ) =C p 8n>k;P([Sk=n]n1(1p) 3) Soitnun entier strictement positif. n a) ÉtablirlégalitéP([Un= 0]) = (1p). b) Exprimer,pour tout entier naturel non nulk, lévénement[Un>k]à laide de la variable aléatoire Sk. c) Endéduire queUnsuit la loi binomiale de paramètresnetp. 1 4) Danscette question, le nombrepest égal à. 200 On considère alors un appareillage électronique utilisant simultanément1000composants identiques fonctionnant indépendamment les uns des autres et dont la durée de vie suit la même loi queT. À chaque instant, les composants en panne sont remplacés par des composants identiques comme précédemment. a) Préciserla loi de la variable aléatoireUdésignant le nombre total de remplacements de composants e¤ectués jusquà linstantnégal à100inclus. b) Ondésire quavec une probabilité de0;95sant jusquà, le stock de composants de rechange soit su¢ linstantnégal à100inclus. Acombien peut-on évaluer ce stock ? r 995 On donne:'22;3et, en désignant parla fonction de répartition de la variable aléatoire 2 normale centrée réduite,(1;65)'0;95.
Partie 2 :Cas continu On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire de densitéfnulle surR, continue surR+et strictement positive surR. + A. Loide survie et coe¢ cient davarie Pour tout réeltpositif, on appelle coe¢ cient davarie à linstanttle nombre(t)déni par: f(t) (t) = D(t) 1) Soittun réel positif. Pour tout réel strictement positifh, on noteq(t; h)la probabilité que le composant tombe en panne entre les instantstett+hsachant quil fonctionne encore à linstantt, cest-à-dire le nombreq(t; h) déni par : q(t; h) =P([T2]t; t+h]=[tT >]): D(t)D(t+h) a) Établirpour tout réelhstrictement positif, légalité:q(t; h) =: D(t) b) Montrerque la fonctionDest dérivable surR+et préciser sa fonction dérivée. q(t; h) c) Montrerque le rapporta pour limite(t)quandhtend vers0par valeurs supérieures. h 2) Onsuppose dans cette question queest un réel strictement positif et queTsuit la loi exponentielle de paramètre. a) Détermineralors la loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative.
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1 b) Établir,pour tout réeltpositif, légalité(t) =, où E(T)désigne lespérance de la variable E(T) aléatoireT. 3) Onsuppose dans cette question que la densitéfde la variable aléatoireTest dénie par : ( 2 t t esit>0 2 f(t) = 0sit <0 a) Vérierque la fonctionfainsi dénie possède les propriétés dune densité de probabilité. r +12+12 RtRt 2 b) Justierles égalités:e dt= =t edt. 2 2 2 0 0 c) Calculerlespérance de la variable aléatoireT. 2 d) Montrerque la variable aléatoireTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. En déduire la variance de la variable aléatoireT. e) Déterminerla loi de survie du composant et donner lallure de sa courbe représentative en précisant 1 la tangente au point dabscisse0On donne :et le point dinexion.e'0;607. 2 f) Calculer,pour tout réeltpositif, le coe¢ cient davarie(t). 4) Onsuppose dans cette question quil existe une constantestrictement positive telle que lon a : 8t2R+; (t) =: t a) Pourtout réeltpositif, on pose :g(t) =e D(t)que la fonction. Montrergest constante surR+. b) Endéduire queTsuit une loi exponentielle et préciser son paramètre. B. Entretienpréventif On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes dentretien. On suppose que la variable aléatoireTadmet une espérance (nécessairement strictement positive) notée E(T)et représentant donc la durée moyenne de fonctionnement dun composant. On considère que la panne dun composant provoque un préjudice de coûtC, et que son remplacement a un coûtK. Une première méthode dentretien consiste à attendre la panne pour procéder au remplacement.On estime K+C alors que le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné par :c1=. E(T) Une deuxième méthode dentretien consiste à se xer un réelstrictement positif et à remplacer le composant dès sa panne si elle survient au bout dune durée de fonctionnement inférieure à, sinon à le remplacer au bout de sa duréede fonctionnement. On estime alors que le coût de lentretien du composant par unité de temps est donné en fonction depar : K+ (1D())C c2() = R :D(t)dt 0 1) SiTadmet une densitéfcontinue surR+, à laide dune intégration par parties, établir la formule : Z Z f(t) :D(t)dt=P([T6]): :tdt+P([T >]): F() 0 0 R Lintégrale:D(t)dtpeut donc sinterpréter comme la durée moyenne de fonctionnement du composant 0 dans la deuxième méthode. 2) Calculerc1et, pour tout réelstrictement positif,c2()dans le cas oùTsuit la loi exponentielle de paramètre. Montrer qualors la deuxième méthode ne présente pas davantage.Comment peut-on expliquer ce résultat ?
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3) Onsuppose queTsuit la loi décrite dans la questionA.3. a) Préciserla valeur dec1et montrer que lon a :limc2() =c1: !+1 b) Pourtout réel strictement positif, on pose : Z 2 2 1 t '() =C :edtK+C1e 2 2 0 Montrer que la fonction'est dérivable surRet que sa dérivée est strictement positive. + En déduire le tableau de variations de'. c) Étudierles variations de la fonctionc2et montrer quelle admet un minimum en0qui vérie : c()< c. 2 01 r 2K d) Établirlégalitéc2(0) =C0puis linégalité0<1 +: C e) Onsuppose, dans cette question, queKetCsont tous deux égaux à1, et on donne :c2(1;5) = 1;5429etc2(1;45) = 1;5439. En déduire un encadrement de0damplitude0;1.