E.S.C.P. - E.A.P. 2001, math 1, option scientifique.
L’objetduprobl`emeestl’´etude,danscertainscas,dessous-espacesstablesparunendomorphisme d’un espace vectoriel. Danstoutleproble`me,onconsid`ereunentiernaturelnnon nul et on noteEleR-espace vectoriel n R. On note 0Ele vecteur nul deEetIdEihpriemstnede´tideenl’modoE. On dira qu’un sous-espace vectorielFdeEest stable par un endomorphismefdeE(ou queflaisse stableF) si l’inclusionf(F)⊂F.eese´etvfi´ri Onobserveraquelesous-espacevectorielre´duita`{0E}etEabstntsomeˆe-muilturaotelps endomorphisme deE. On noteR[Xoeacs`mesrntieffic,teslee´tuotruop]l’eevecspacleedotirnyoˆpsloentiernaturelk, on noteRk[Xsp-eevactoecelrimrofape´selr´le´stedmene]elossuR[Xuqsi]rueirnf´er´eiedegontd oue´gala`k. 0 12 3 Sifest un endomorphisme deEon posef=IdE,f=f,f=f◦f,f=f◦f◦f, etc. n X k Sifest un endomorphisme deEet siP=akXtseme´le´nueentdR[X], on rappelle qu’on k=0 n X k noteP(f´Eedlagea`’e)lomndphormeisP(f) =akf. k=0
PartieI:Pr´eliminaires
Soitfun endomorphisme deE. 1)SoitPundtemenee´´lR[X]. Montrer que le sous-espace vectoriel KerP(f) est stable parf. 2)a)Montrer que les droites deEstables parfsontectleelqsaxtcmenendgeeer´souienntraps un vecteur propre de l’endomorphismef. 3 3 b)On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deRcnnois`drelee’dnoomtoerphismegdeR dont la matrice dans la baseBest 1 1 0 B1 0= 0 0 0 2 3 De´terminer(enendonnantunebase)lesdroitesdeRstables parg. 3)Soitpun entier naturel non nul. a)SiF1, . . . , Fpsontpsous-espaces vectoriels deEstables parf, montrer qu’alors la somme p X Fkest un sous-espace vectoriel stable parf. k=1 b)Siλ1, . . . , λpsontpvaleurs propres defet sin1, . . . , npsontpentiers naturels montrer p X nk qu’alors la sommeKer(f−λkIdE) eststable parf. k=1 4)a)Soitaleuerqfieri´e.Velcevsecapse-suossetorielsdrne´uEstables par un endomorphisme fsont exactement ceux qui sont stables par l’endomorphismef−λIdE. b)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un endomorphismefet ceux 2 qui sont stables par l’endomorphismef? c)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un automorphismefet ceux −1 qui sont stables par l’endomorphismef? d)Que dire d’un endomorphisme deElaissant stable tout sous-espace vectoriel deE? 2 e)Donner un exemple d’endomorphisme deRne laissant stable que le sous-espace vectoriel 2 r´eduitauvecteurnuletl’espaceR. 5)a)e´ialenireruslequppelform’unearnOEeriae´niseedplapnetunlioaticEdansRet qu’un hyperplan deEest un sous-espace vectoriel deEde dimensionn−1.
Montrer que les hyperplans deEllunsereaionsnslme´einuadxferotnelnsyoexactemesont surE.Ouopnabenunenedesd’unbaserplahypemolprrcaurene´etE. b)Soitϕneuinelrmfore´iaeronnnluelusEetH= Kerϕ. i.Montrer que l’hyperplanHest stable parfntiitsenemulseetsieme´le´nuetsixelλde Rantlerifiv´e´:lati´’geϕ◦f=λϕ. ii.On noteAla matrice defbasecanoment`alaalerevitinuqdeeEetLla matrice (ligne) deϕrelativement aux bases canoniques deEetR. Montrer que l’hyperplanHest stable parfnestiielixtsuern´eelsiseetemulλv´erifiant t tt l’e´galit´eA L=λ L. 3 c)nenennodutnaaben)lseplessdaneD´eterminer(Rstables par l’endomorphismegfinid´e a`laquestion2).
PartieII:Lecasou`l’endomorphismeestdiagonalisable
Danscettepartie,onconside`reunendomorphismefdeEdiagonalisable et on noteλ1, . . . , λp ses valeurs propres distinctes etE1, . . . , Eples sous-espaces propres correspondants. 1)Que dire des sous-espaces vectoriels deEstables parfsip= 1 ? 2)On suppose l’entierpirleacevectosous-espe`dinuernO.2snocegs´`aalauinmoFdeEstable parfteneml´´eunetxdeF. p Y a)(emtnlee´uq´enunied’utencexis’lrefiitsuJx1, x2, . . . , xp) deEk:e´tilag´erivl’´efiant k=1 p X x=xk. k=1 p X b)Montrer que le vecteur(λk−λ1)xkedtest´el´emenF. k=1 c)Montrer que les vecteursx1, . . . , xpsont tous dansF. 3)deleudriDe´´eecr´npiostueaq-suosseleuqetnedectorielespacesvdseEstables parfsont p X exactement les sous-espaces vectoriels de la formeFko`tourpou,itretuneksntleirafive´ k=1 in´egalit´es1≤k≤p,Fkest un sous-espace vectoriel deEk. 4)Montrer que l’endomorphisme induit parfsur l’un de ses sous-espaces vectoriels stablesF est un endomorphisme diagonalisable deF. 5)nnoDetensutslffirusaesctenspeearsoraitrdoiptrieosndne´vearluenuercsopnfpour que Esopde`sniefisodenneubromtcroseevpscasue-arlespstabielsf. Quel est alors ce nombre ?