Mathématiques I 2001 Classe Prepa B/L HEC
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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES I Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On dispose denjetons numérotés de 1 àn,nOn tire, au hasardétant un entier strictement supérieur à 1. et sans remise, les jetons un à un.La suite(a1;a2;:::;an)des numéros tirés est aussi appelée permutation de lensemblef1; 2;:::;ng. Étant donné deux entiersketpvériant1< k < p < n, la suite(ak;:::;ap)se réduisant à (ak) dans le cas où kest égal àp, est appelée sous-suite de(a1;a2;:::;an)et son nombre déléments est appelé longueur de cette sous-suite. On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de lunivers, ensemble des permutations def1; 2;:::;ng, muni de la tribu de ses parties()et de la probabilité uniformeP, ce qui signie 1 que, pour toute permutation!def1; 2;:::;ng, on a :P(f!g) =. n! SiXest une variable aléatoire dénie sur(; ();P), on noteE(X)son espérance etV(X)sa variance. SiXetYsont deux variables aléatoires dénies sur(; ();P), on noteCov(X;Y)leur covariance.
Préliminaire SoitXune variable aléatoire prenant ses valeurs dansf1; 2;:::;mgoùmest un entier strictement supérieur à 1. m P Montrer légalité :E(X) =P([X>k]). k=1
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Partie 1 :Première sous-suite croissante. Étant donné une permutation(a1;a2;:::;an)def1; 2;:::;ng, la première sous-suite croissante est dénie de la façon suivante : dans le casa1< a2< ::: < an, la première sous-suite croissante est(a1;a2;:::;an); dans le cas contraire,kétant le plus petit entier def1; 2;:::;n1gvériantak> ak+l, la première sous-suite croissante est(a1;:::;ak). SoitLla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe la longueur de sa première sous-suite croissante. Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;, comme2<3<5et5>4, on a :L(!) = 3.
1. (a)Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises parL? QuevautP([L=n])? 1 (b) Montrerque, pour tout entierkdef1; 2;:::;ng, on a :P([L > k]) =. Endéduire la loi deL. k! 2. Donner la valeur deE(L)sous forme dune somme et déterminer la limite deE(L) quandntend vers linni.
Partie 2 :Deuxième sous-suite croissante.
Étant donné une permutation(a;a;:::;a)def1; 2;:::;nget sa première sous-suite croissante(a;:::;a), 1 2n1k si celle-ci se termine paran(i.e. sik=n), on dit que la deuxième sous-suite croissante nexiste pas ; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de(ak+l;:::;an)est appelée deuxième sous-suite croissante de(a1;a2;:::;an). 0 SoitLla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe 0 sil nexiste pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire. 0 Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;, la deuxième sous-suite croissante est(4; 9)et lon a :L(!) = 2.
0 0 1. Quellessont la plus petite et la plus grande des valeurs prises parL? QuevautP([L= 0])? 2. Onsuppose, dans cette question seulement, quenest égal à 3. 0 (a) Montrerque la loi du couple(L;L)est donnée par le tableau suivant : 0 LL1 2 3 0 00 1/6 1 1/61/3 0 2 1/30 0 0 (b) Donnerla loi deLet calculer son espérance. 0 (c) Calculerla covariance deLet deL. Pouvait-onprévoir le signe de cette covariance ?
3. Onsuppose à nouveau quenest un entier quelconque strictement supérieur à 1.
(a) Dénombrerles parties de lensemblef1; 2;:::;ngdistinctes de;,flg,f1; 2g,...,f1; 2;:::;n1g 0 (b) EndéduireP([L+L=n]). k 2k 0 (c) Montrerde même que, pour tout entierkdef1; 2;:::;ng, on a :P([L+L>k]) = k! 0 (d) Donnerla valeur deE(L+L)sous forme dune somme. 0 (e) EndéduireE(L)et sa limite quandntend vers linni.
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Partie 3 :Nombre de sous-suites croissantes. Étant donné une permutation(a1;a2;:::;an)def1; 2;:::;ng, si sa deuxième sous-suite croissante existe et ne se termine pas paran, on dénit la troisième sous-suite croissante à linstar de la deuxième, etc., jusquà ce que lon ait déni une sous-suite croissante se terminant paran. SoitTla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe le nombre de ses sous-suites croissantes. Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;;comme les sous-suites croissantes sont(2; 3; 5),(4; 9),(6; 7; 8) et(l), on a :T(!) = 4.
1. (a)Donner la loi deTdans le cas oùnvaut 2.Calculer son espérance et sa variance. (b) Donnerla loi deTdans le cas oùnvaut 3.Calculer son espérance et sa variance.
2. Onsuppose désormais lentiernsupérieur ou égal à 4.
(a) CalculerP([T= 1])etP([T=n]). 0 (b) Comparerles événements[L+L=n]et[T62]déduire la valeur de. EnP([T= 2]). (c) Donnerla loi deTdans le cas oùnCalculer son espérance et sa variance.vaut 4.
3. Pourtout entieridef1; 2;:::;n1gsoitAilévénement égal à lensemble des permutations(a1;a2;:::;an) vériantai> ai+l, et soitXila variable aléatoire qui, à toute permutation!, associe 1 si!2Aiet 0 sinon. 1 (a) MontrerqueXi. Donnerson espérance et sa variance.suit la loi de Bernoulli de paramètre 2 n+ 1 (b) Donnerune expression deTen fonction deXi. Endéduire légalité :E(T) =. 2 1 (c) Montrerque lon a :8i2 f1;:::;n2g; P(Ai\Ai+l) =déduire la valeur de. EnCov(Xi;Xi+l) 6 (d) Montrerque, pour tout couple(i;j)dentiers vériant16i < i+ 26j6n1, les événementsAiet Ajsont indépendants.En déduire légalité :Cov(Xi;Xj) = 0. n+ 1 (e) Établirenn légalité :V(T) =. 12 4. Onsuppose, dans cette question.quenOn considère 1000 variables aléatoiresest égal à 5.Tl,...,T1000, mutuellement indépendantes, de même loi que la variableTet on noteSla variable aléatoire égale à 1000 1P Ti. 1000 i=1 On notela fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et on donne la valeur approchée suivante p :( 5)0;987. Calculer une valeur approchée de la probabilitéP([2;95< S <3;05]). 5. Onsuppose à nouveau quenest un entier quelconque strictement supérieur à 1.
(a) Si(a1;a2;:::;an)est une permutation def1; 2;:::;ngetkle nombre de ses sous-suites croissantes, quel est le nombre de sous-suites croissantes de la permutation(an;an1;:::;a2;a1)? (b) Endéduire, pour tout entierkvériant16k6n, légalité :P([T=k]) =P([T=n+ 1k]). Retrouver ainsi la valeur deE(T).
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