Mathématiques I 2000 Classe Prepa HEC (S) HEC
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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2000 sur Bankexam.fr.
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HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientifique.
p Ceproble`meapourobjetl’´etudedespointsenlesquelsuneapplicationline´airedeRdansR atteintsonmaximumsurl’ensembledessolutionsd’unsyste`med’in´equationslin´eaires. p Pour tout entierpstrictement positif, on identifieraRetMp,1(R).
PartieI:Pre´liminaires On dit qu’une partieKnon vide deRlee´rn’iqursloeustxileetsamoj´reeMtel que
∀x∈K, x≤M Unr´eelMdejomantraleppnuele´tia’sstnecirafigelais´nv´eK; on dit aussi queMmajoreK. Dans ce qui suit on suppose queKeeidnvnoiertpaneutsedeeroe´mtjaR. SoitMun majorant deKeta´el´untdeemenKs(tee´nfiO.dnssiutielun)n∈Net (vn)n∈Npar un+vnun+vn n, vnmajore passi neK u0=a 2 2 et∀n∈N,(un+1, vn+1) = un+vn v0=M un,sinon 2 1)On suppose, dans cette question seulement, queK= [0,1[∪[3,4[, a= 0 et queM= 10. De´terminer(un, vn) pour tout entiernpatrapanenat`{1,2,3,4}. 2).eraluasiamro´ne´gsacevnrOesd´ntie a)Montrer que :∀n∈N, un≤vn. b)Montrer que les deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Ntnseteocvnreegtnsontadjacelee´rnusrevb. c)Montrer que pour tout entier positifn,vnest un majorant deK, puis quebmajoreK. d)ntsde’´el´emeenustideelixtsueertr’iquonMKqui converge versb. 0 e)On suppose quebest un majorant deK. 0 •Montrer queb≥b. •ueireq´eduEndbenxdautinixioisehcapdsepdndee´aetMpourvu queairtanpepeana` Ket queMmajoreK. D´esormais,onnoteraαKle majorantbdeKainsi obtenu.
´ Partie II : Etude d’un exemple p 2 22 On munitRiefinrparonasedidcleume´eednnie||(x, y)||=x+ypour tout (x, y) appartenant 2 `aR. 1)sleer´esbromsnoitrreocsndie`nOa, b, c, tels que (a, b)6= (0,sioreltsolsrinat´dfie).On0 ensembles : 2 D= (x, y)∈R;ax+by+c= 0 2 2 R+= (x, y)∈R;ax+by+c >0 etR−= (x, y)∈R;ax+by+c <0 2 a)Montrer queR+est une partie ouverte deR.
Onpourramontrer,enutilisantlacontinuit´ede(x, y)7→ax+by+cen un point(x0, y0) appartenanta`R+lixeq,’uouveouleunebisteeee´ncetrrtne(x0, y0)et incluse dansR+. 2 Il s’ensuit, mutatis mutandis, queR−eiuoevtrutenaptregalemeneedest´R, ce que l’on admettra. 0 0 b)Soit (x, y) et (yx ,stedmenee´´ldeux)R+M.lee´rtutourpoe,quertronλnetrappana`ta 0 0 [0,1], le coupleλx+ (1−λ)λyx ,+ (1−λ)yntie`apatrapR+. 0 0 c)On suppose que (x, y) et (x ,y)app`aennearticepsertntnemevitR+etR−. 0 0 Enconside´rantlafonctionλ7→a(λx+ (1−λ)x) +b(λy+ (1−λ)y) +c, montrer qu’il existe 0 0 λdans [0,1] tel queλx+ (1−λ)λyx ,+ (1−λ)yppara`taitneD. 2 2)Soitkedsetnenureitirtsmetctpenitos.Oifonncis`dredeseaptreisnonvidesetouverR: A1, . . . , Ak. a)On suppose dans cette sous-question queA1∩. . .∩Akest non vide. Montrer queA1∩. . .∩Ak 2 est une partie ouverte deR. Si(x0, y0)mseentdetun´el´eA1∩. . .∩Aknoomtnerlee´,stxinreuqurale’irstrictement positif tel que la boule de centre(x0, y0)et de rayonrsoit incluse dansA1∩. . .∩Ak. 2 b)Montrer queA1∪. . .∪Akest une partie ouverte deR. 2 3)On note Δ l’ensemble(x, y)∈R;x≥0, y≥0,1−2x+y≥0 et 1+x−2y≥0 et gl’e´nfioidncitapalprsuieparΔ ∀(x, y)∈Δ, g(x, y) = 3x−y+ 4 −→−→ a)entergraRepr´estndΔnaushpqieuemnalpnPum(ernu’dinrteoerp`´ermnohoO, i , j). 2 b)oMrquentreunepΔestitrarefeee´mobte´erneedR. c)Montrer quegadmet un maximum sur Δ. 0 d)ledtsne’lbmedΔefin´earipCemaixumpmue-tlieˆrteatteintenunpoin 02 Δ =(x, y)∈R;x >0>, y0,1−2x+y >+0 et 1x−2y >0 e)rete´De’lrenimedblemnstsinpoesmaximumedeΔo`uce.ttstaetni 2 –11 01 4)malaictridnsre`enOoceAla matrice colonne= etB= . –1 2 0 11 x1 x24 On noteCl’ensembleX= ∈R;x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0 etAX=B. x3 x4 x1 x2 a)Montrer queX= `tneitraapapCsi et seulement six1, x2, x3, x4satisfont : x3 x4 x3= 1−2x1+x2, x4= 1 +x1−2x2,(x1, x2)∈Δ 2 44 b)re`d´’lecnOisnoel´ementW= trnena`tpaapaR. 1 3 4 t On munitRde son produit scalaire canonique :hX, Yi=XY`ldarmeen´oeigseOa.cnnelt fonctionfd´esurefiniCpar : ∀X∈ C, f(X) =hX, Wi x1 x2 •Montrer quef(X) =g(x1, x2)oprutout´el´ementX= tearntna`appaC. x3 x4 •sembl’eninertermlnsetnespsioeledselqu´eDfatteint son maximum surC. 2
Partie III : Sommets et maximum D´esormaisnetpsf.tnopisittrictemeentiersssedtnorengise´d Onconsid`ereunematriceAnanea`tpatrapMn,p(R), et deux matrices colonnesBetW n p appartenantrespectivement`aRetR. p Pourtout´ele´mentXdeRet pour toutiapaaptrnena`t[1, p]], nous noteronsXisaime`e-i X1 composante, et ainsiX=. . Xp p Ondiraqu’une´le´mentXdeRstesipoircearefit´notX≥0, lorsque toutes ses composantes sont positives. pt On munitRde son produit scalaire canonique :hX, Yi=XY. p Onconside`rel’ensembleC={X∈R;X≥0 etAX=B}et l’applicationfuresniefid´Cpar ∀X∈ C, f(X) =hX, Wi Onditqu’un´ele´mentZdeCest un sommet deClorsque 0 0020 000 00 ∀(ZZ ,)∈ C,∀λ∈]0,1[, Z=λZ+ (1−λ)Z=⇒Z=Z X1 p SiX=edtnluet´sneeme´R, on noteras(X)l’ensemble{i∈[1, p]];Xi6= 0}; cet . Xp ensembleseraappele´lesupportdeX. 1 2p Enfin, on notera. . . , CC ,C ,les colonnes deA. Toutescesnotationsserontutilis´eesjusqu’`alafinduprobl`eme. p 1)´Vquerifierel’´ilesuntneme´edlRent`artippaaC, alors il est un sommet deC. 2)onsualetn´ersg´euaaceitnrnveOequitusiuqecsnadesoppCest non vide et quefatteint son maximum surCenU.Ceares´tonxamemumiM0. Le but de ce qui va suivre est de construire un sommet deCen lequelfatteint son maximum. On suppose donc queUn’est 0 00 pas un sommet deCstcnit´xuee´letnemsidstoeonncd`siederU , Uappaat`anenrtCet un 0 00 r´eelλna`ttrnepaapa]0,1[ tels queU=λU+ (1−λ)U. 0 0000 0 a)e´Vifierquerf(U) =f(U) =f(Uur)tene´delevecteeduirequV=U−Uest orthogonal `aW. 00 0 Le vecteurU−Unesumpcoanosnotelunnteeltiuqa`ettant´elui,onnnomnialua 0 0000 0 ´echangerUetUon peut supposer que le vecteurVa`´alegU−Uadmet une composante strictementne´gative.C’estcequenoussupposonsd´esormais. 0 00 b)•Montrer ques(U)⊂s(U), s(U)⊂s(U) ets(V)⊂s(U). •´etrelouPourtµ, calculer :A(U+µV). •Montrer ques(U+µV)⊂s(Utuotruop)leer´µ. i c)Montrer que la famille (C)i∈s(U)ee.tli´esrenpoOurraconsid´erAV. d)eerOcnnois`dK={µ∈R;U+µV∈ C}. •Montrer queKjaroeemtee´departtunenvidienoseR. •Montrer queU+αKVneitrappaa`tCet quef(U+αKV) =M0. Le nombreαK´et´ed´e.arapaIeitdinfilsna e)On suppose que, pour toutiraetapp`anants(U), lai-ietnasopmoceme`Yide la colonneY ´egale`aU+αKVest non nulle. En remarquant que pour toutiantnraetappa`s(U), limUi+ (αK+µ)Vi) =Ui+αKVi, + µ→0 justifierl’existenced’unre´elη, strictement positif, tel queU+ (αK+η)Vpaapann`etreiC. Ende´duireques(U+αKV) est strictement inclus danss(U). (1) (1) f )nodse´osuonstoreNrmaisU=U+αKVet nous supposons queUn’est pas un sommet deC. (2) Enseservantdesquestionspr´ec´edentes,montrerquel’onpeutconstruireun´ele´mentU (2) (2)(1) deCtel quef(U) =M0et tel ques(U) soit strictement inclus danss(U). 3
