E.S.C.P. - E.A.P. 2000. Math 1, option scientifique.
LespartiesIIIetIVsontind´ependantesdespartiesIetII. Partie I Onconsid`erelafonctioninde´finimentde´rivableϕltuotee´rnie,pourd´efixde [0,1[, par : 1 ϕ(x) =√. 1−x 1)e´leuortuotrPxde [0,1[ et tout entier naturelnte´,´eitaleg’´rlliab (2n)! 2n+1 (n)− ϕ(x(1) =−x) 2 n 4n! (n) (0) ou`ϕir´veed´esignelad´en-`imedeeϕ(avec, en particulier,ϕ=ϕ). 2)Pour tout entier naturelnteoteeltu´rxde [0,est´vaui´el’ligatsujrefiitne,[1 nZ k xn X C (x−t) 2k k(n+1) ϕ(x) =x+ϕ(t) dt k 4n! 0 k=0 n+1n+1 3)a)Pour tout entier naturelnCt´e:galiin´ere’lorvup,≤4 . 2n+2 x−t b)Pour tout couple (t, xstel´eere0queld)≤t≤x <in´egalit´es:0e´v,1selrefiir≤ ≤x. 1−t c)reuie,quurpouttoee´rlnE´ddexde [0,1[, on a Z x n (x−t) (n+1) limϕ(t) dt= 0 n→+∞ n! 0 4)lee´rtuotruoPxde [0,il´tere’le´agtronemd´[,1 +∞ k X 1 C 2k k √=x k 1−x4 k=0 Partie II Onsedonneunespaceprobabilis´e(Ω,B, Pereusid`ite(nesuapsetecrnocno,ecSu).Xn)n∈INde ∗ variablesale´atoiresinde´pendantesetdemˆemeloiqueX1ttleioe´attn´dfierape,icne 1 P([X1= 1]) =P([X1=−1]) = 2 n X On poseS0= 0 et, pour tout entier naturelnnon nul,Sn=Xk=X1+X2+∙ ∙ ∙+Xn. k=1 Par exemple,Sn´sees(eanlt´eeralr’aaibtrsecpirsetpmospruotri)euanlecud´seepuntiart’dalpenac¸ sur un axe et partie de l’origine au temps0gauahcoeuq,iunseiquhaace`utsa`e´tinuenu’dtnat d’uneunit´e`adroiteavecune´egaleprobabilit´e. On note minRsuepellplee´it´td’unmenttieneparedivnoRde IN. Onposeaussi,pourtout´el´ementωde Ω, ∗minRωsiRω6=∅ Rω={n∈IN/Sn(ω) = 0}etT(ω) = 0 siRω=∅ OnadmetqueT.eriotae´laelbarivanetues AinsiTttnedsa’etpmereltˆetrraipouemprrrieouetalr`a(etae´lriotud)eiculeo’irigenedalaptr ´evoqu´eeplushaut. Pour tout entier natureln, on noteEn’lentnemee´´vEn= [T >n]∪[T= 0]. 1)Soitnun entier naturel non nul. On poseAn= [Sn= 0] et, pour tout entier naturelktel que 0≤k≤n−1, n \ Ak= [Sk= 0]∩[Sk+16= 0]∩[Sk+26= 0]∩. . .∩[Sn6= 0]= [Sk= 0]∩[Si6= 0] i=k+1
Ainsi, pour tout entierktel que0≤k≤n,Ak´enementaitl’´evres: hh ii Pourladernie`refoisavantl’instantnelucitrapalne`arigial’oest`ttsna’lnik. a)Pour tout entierktel que 0≤k≤nre’le´agil´tseiuvanteju,ifist P(Ak) =P([Sk= 0])P(En−k) n X b)=e´1:dnEelirdu´eitaleg’´P([Sk= 0])P(En−k) k=0 Onadmetque, si deux suites (an)n∈INet (bn)n∈INesrmte`a,positifs ou nuls, sont telles queless´eriesdetermesg´ene´rauxanetbnconvergent, alors en posant, pour tout entier n X natureln,cn=akbn−kmeeretedra´eeng´lire´sal,cnommev´erifiecnoevgreestsa k=0 ! ! +∞+∞+∞ X XX cn=anbn n=0n=0n=0 2)lPoeetro´uurtxde [0,[,1t´eilage´’lrilbate´ ! ! ∞ ∞ X X 1 n n =P([Sn= 0])x P(En)x 1−x n=0n=0 3)a)Pour tout entier natureln, calculerP([Sn= 0]). ` b)lerte´lAa’dideitrapalee´dne,Ieueeqirduourtou,pxde [0,1[, on a r +∞ X 1 +x n P(En)x= 1−x n=0 c)mene[trnErameanquuetq´el’env´T= 0] est inclus dansEnpour tout entier natureln, montrer que l’on a :P([T= 0]) = 0. Ainsi,presquesuˆrement,laparticulecit´eeenexemple,revienta`l’origine.
Partie III Onconsid`eredanscettepartieunesuiter´eelle(ak)k∈INtleelltuotee´r,euqruopxde [0,1[, la +∞ X k k s´eriedetermege´n´eralakx.Pgeernvcolee´rtuotruoxde [0,1[, on notef(x) =akxet l’on k=0 suppose que : √√ lim 1−x f(x) =π x→1 < +∞ √X (p+1)k 1)a)Pour tout entier naturelperetd´,:rilimen1m−x akx. x→1 < k=0 Z +∞ −(p+1)t e b)Pour tout entier naturelpe´rglaedelei’tnnvergencifierlaco,tsuj√dt, et, en 0t p utilisant le changement de variableu= 2(p+ 1)t, calculer sa valeur. c)e´tilagd´edEnl’´euire +∞Z +∞ −(p+1)t X √ e (p+1)k lim 1−x akx=√dt x→1 t <0 k=0 2)ller´eeMontrerqueuop,uotrpaetcilpioatolnpomynleiaQ, on a : +∞Z +∞ −t √X e k k−t lim 1−x akx Q(x) =√Q(e )dt x→1 t <0 k=0 2
3)Soithuotruorte´lefalctonndiofin´e,piexde [0,1[, par : 1 0 six∈[0,[ e h(x) =1 1 six∈[,1[ xe Z +∞ −t e −t a)vnrealocdeleegcn´egr’intaleerifistJu√h(e )dtet donner sa valeur. 0t k b)Soitxeelde[0unr´,erdeualavtletmrnina[1E.dne´h(x) pourkassez grand, justifier la k k convergencedelase´riedetermeg´ene´ralakx h(x). +∞Z +∞ −t √X e k k−t 4) Onadmet1mage´’lil:e´til−x akx h(x) =√h(e )dt x→1 t <0 k=0 1 − Enutilisantcere´sultatpourx=euterreanneiteu’lorsque,lireq´edund,elntend vers n n X √ l’infini,akuqe´tsea2ivalent`n. k=0 Partie IV Onconsid`ereunesuite(an)n∈INnassete´diorcsleeed´rpositifs ou nulset, pour tout entier natureln, on pose : n X Sn=ak k=0 √ Onfaitl’hypothe`seque,lorsquentend vers +∞,Snse´tqeuivalent`a2n. On va montrer qu’alors 1 an.t`anelaviuqe´tse √ n On noterabxcleed’rer´unite`eineaptralx. 1)Soit (α, βocnuelpu)sr´eelsvdenombre0:e´irafitn< α <1< β. Pour tout entier natureln tel quen6=bαncetn6=bβnc, justifier l’encadrement Sbβnc−Sn n−bαnc S S ≤an≤ bβnc −n n− bαnc n 2)a)Soitγpontmeteictrlsee´rnuare´xuesittedeesrmeng´lrseilimetdsseussitif.D´etermine bγnc S bγnc et√. n b)Soitεuotruop,nreitnetMof.tisiuerqrentrtcieesltnopetemunr´rutalenassez grand, on a √ √ 2(β−1)√2(1−α) −ε≤nan≤+ε β−1 1−α √ 3)mil:ano’u´eduireqEndnan= 1. n→+∞ Partie V ` 1)a)seluse´rdidelAa’anslnusdobtetatsr,quandl’entierntarulepaesiertr´sp´eectned´dsereteenim n X ntnevdrels,uninfi’ivauieqn´edtnelP(kT >). k=0 b)End´reuneduivilae´uqenedtP(nT >). 2)reatoial´ebaelaviraLToss`pe?ncra´epseenuelle-t-ede 3)tourPotu´reelxde [0,’´egalitprouverl1,]:e´ +∞ X p n 2 P([T=n])x= 1−1−x n=0 4)Soitnun entier naturel. √ a)oDnn´dvereelal’ordreisiovuae`0edeganmepeopelt´milintnde la fonctionu7→1 +u. 3