La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
On considère un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite dépreuves de la façon suivante, jusquà élimination dau moins deux des trois tireurs :
Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.
Lorsque A tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 2/3. Lorsque B tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 1/2. Lorsque C tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 1/3. Lorsque quun des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves suivantes. À chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun deux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés. (Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A): Pour tout nombre entiern>1, on considère les événements suivants : ieme ABCn: à lissue de lanépreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . ieme ABnà lissue de la: népreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés . On dénit de façon analogue les événementsBCnetCAn. ieme An: à lissue de lanépreuve, seul A nest pas éliminé . ieme ;nà lissue de la: népreuve, les trois tireurs sont éliminés . Enn,ABC0est lévénement certain,AB0,BC0,CA0,B0,C0,;0, lévénement impossible.
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PARTIE 1 On établit dans cette partie 1 quelques résultats probabilistes préliminaires. 1. Calculde probabilités.
(a) Exprimer,si U et V désignent deux événements quelconques dun espace probabilisé donné, la proba-bilitéP(U[V)de lévénementU[Ven fonction deP(U),P(V)etP(U\V). (b) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C :
(A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir).
(c) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C :
(A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).
2. Déterminationde probabilités conditionnelles.
(a) Montrerque lévénementABnest impossible pour tout nombre entier natureln: Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABCn,BCn,CAn,An,Bn,Cn,;n (b) Expliciterla probabilité conditionnelleP(ABCn+1=ABCn). (c) ExpliciterP(BCn+1=ABCn)à laide de la question l, puis donnerP(CAn+1=ABCn). (d) ExpliciterP(A =ABC),P(B =ABC)etP(C =ABC). n+1n n+1n n+1n (e) ExpliciterP(An+1=CAn),P(Bn+1=BCn),P(Cn+1=CAn)etP(Cn+1=BCn). (f) ExpliciterP(;n+1=ABCn),P(;n+1=BCn)etP(;n+1=CAn).
3. Nombremoyen dépreuves à lissue desquelles sachève le combat. On noteTla variable aléatoire indiquant le nombre dépreuves à lissue duquel cesse le combat, cest à dire au delà duquel il ne reste quun tireur au plus.
(a) Quelleest la probabilité de lévénementT= 1? (b) Soitn>2. Calculerla probabilité de lévénement suivant :
ABC\ABC\ [ABC\ABC : l2n1n
(c) Soitn>2. Calculerla probabilité de la réunion des événements suivants pour06k6n1.
ABCl\ABC2\ \ABCk\CAk+1\ \CAn:
(pourk= 0, il sagit de lévénementCAl\CA2\ \CAn) (d) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1:
ABCl\ABC2\ \ABCk\BCk+1\ \BCn:
(pourk= 0, il sagit de lévénementBCl\BC2\ \BCn) (e) Soitn>2. Calculerla probabilitéP(T >n)pour que le combat ne soit pas terminé à lissue de la ieme népreuve, et en déduire la probabilitéP(T=n)(on vériera que cette formule redonne bien pour n= 1le résultat obtenu à la question a). (f) Vérierque la somme de la série de terme généralP(T=n)(avecn>1) est égale à1, puis déterminer sous forme de fraction irréductible lespéranceE(T)de la variable aléatoireT:
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PARTIE II Dans cette partie, on détermine les probabilités pour que A, B, C remportent le combat. 1. Expressionde la matrice de transition M. (a) Onconsidère la matrice-colonneEnà sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas, P(ABC); P(BC); P(CA); P(A); P(B); P(B); P(;): n n nn n nn Expliciter une matriceMcarrée dordre 7 vériant pour tout nombre entier natureln: En+1=M En On vériera que la somme de chacune des sept colonnes de cette matriceMest égale à 1. (b) EndéduireEnen fonction den,MetE0: 2. Calculdes puissances de la matrice M. 0 00 (a) Onconsidère deux matrices carrées dordre 3 notéesU,Uet deux matrices rectangulaires à 4 lignes 0 00 et 3 colonnes notéesV,Vet lon forme les matrices carrées dordre 7 : 0 00 U OU O 0 M= ;M 0 00 V I4V I4 oùOdésigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes etI4la matrice-identité dordre 4. 0 00 U UO 0 00 Vérier à laide des règles du produit matriciel légalité suivante :M M= 0 0000 V U+V I4 U O (b) Expliciterles matricesUetVtelles que :M= V I 4 U O n (c) Établirenn par récurrence surn>1 légalité suivante :M= n1 V+V U+ +IV U4 3. Diagonalisationde la matrice U. (a) Déterminerles valeurs propresl,2,3deUavecl< 2< 3et les vecteurs propres associésVl,V2, V3tels que : la première composante deVlvaut 1. la troisième composante deV2vaut 1. la deuxième composante deV3vaut 1. (b) OnnotePla matrice dordre 3 dont les vecteurs-colonnes sont, dans cet ordre,Vl,V2,V3. 11 Expliciter la matrice inversePet préciser la matriceD=PP U. 4. Calculde la limite des puissances de la matrice M.
n2n1 (a) Expliciterles matricesDetI3+D+D+ +D : (b) Ondit quune suite de matrices(Xn)àplignes etqcolonnes converge vers une matriceXàplignes etqcolonnes si chaque coe¢ cient de la matriceXnconverge quandntend vers +1vers le coe¢ cient correspondant de la matriceX: On admettra (sous réserve dexistence) que la limite dun produit est le produit des limites. n Expliciter à laide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles (D)et(I3+D+ 2n1n2n1 D+ +D)puis des trois suites matricielles (U),(I3+U+U+ +U)et(V+V U+ 2n1 V U+ +V U): n (c) Endéduire enn les limites des deux suites matricielles (M)et (En): (d) Vérierque les suitesP(ABCn),P(BCn)etP(CAn)convergent vers 0 et expliciter sous forme dune fraction irréductible les limites des suitesP(An),P(Bn),P(Bn),P(;n). Comparer les probabilités respectives pour que A , B , C remportent le combat.