Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2006 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard
2
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Français
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2009
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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2006 sur Bankexam.fr.
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MT 18
Fiches et calculatrice autorisées
Final
1 2 Exercice 1 ( 5 points) : Soit la suite (un) définie par un= +avec n³1 2 3n n
1)Montrer que la suite ( un) est monotone. 2) Calculerla limite de cette suite 3)Montrer que cette suite est bornée.
2 2#3.u n Exercice 2 ( 6 points) :Soit la suite définie par u0= 0 et pour tout n³0 :u1 n#1 u#4 n
1)Montrer que la suite ( un) est monotone. 2) Calculerla limite de cette suite et montrer que cette suite est bornée.
ch x Exercice 3 ( 5 points) :Soit la fonctionf (x) =e
A06
1)Donner le domaine de définition de cette fonction 2)Etudier les variations de la fonction f et calculer les limites 3)On notela courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point x = 0.
Exercice 4 ( 8 points) : On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les fonctions, notées fn, 1#n lnx qui sont définies pour x appartenant à l’intervalle ] 0 , +f[ parn( x ) = 2 x
1)Calculer f ‘n( x ) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le numérateur est : n – 2 – 2 n ln x 2)Résoudre l’équation f ‘n( x ) = 0. Etudier le signe de f ‘n( x ) 3)Calculer les limites defnen 0 et +ainsi que sa valeur maximale (en fonction de n) 4)Dresser le tableau de variation de fn
5)Calculer fn+1( x ) – fndépend-elle de l’entier n ?( x ). Cette différence
Exercice 5 ( 8 points) : Intégrales ou primitives ( 3 questions indépendantes) 1 1) Donnerles primitives de 2 x(lnx) 2 1 1%x1dx 2 2I 1 # 2) Montrerque puiscalculer1 1 ò2 x(x1)x x1 x(x#1) # # 1
2 2 3) CalculerI= 2 2 x 1%x dx ò 0 2 lnx 4) A l’aide d’une intégration par partie, calculerI=dxò 3 3 x 1
Exercice 6 ( 8 points) :
%x%x 1/ 2 e e I dx On cherche à calculer1avec f ( x ) =sur l’intervalle [ 0 ; ½ ] ò 0 1%x1%x 1) a. Etudierles variations de f ( x ) sur [ 0 ; ½ ] 2 b.Démontrer que1f(x) £ £ e 1 121 2 c.En déduire quex f(x)dx £ £ ò 0 24 12e 2) 2 1x a.x Démontrer que11# # 1x1x % % 1 1 %x2 2 2 b.En déduire que#1 #dx I(1x).xe dx.f(x) ò ò 0 0 1 %x 2 c.Calculer1 # J(1x).e dx ò 0 d.En déduire un encadrement deI
