Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2005 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard
2
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Français
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2009
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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques de base 1 pour les STI/STL 2005 sur Bankexam.fr.
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Automne 05
.
Aleth Chevalley
MT18-2005A-FS01-01
MT18
Final
( 1 )
( 2 )
b.
Montrer que, pour tout entier strictement positif n, ln un= f ( 1 ) + f ( 2 ) + … + f ( n )
Documents autorisés avec formules de trigonométrie et autres théorèmes. Calculatrice autorisée. Exercices interdits.
Exercice 1 : On étudie la suite ( un par :) définieu111et pour tout entier naturel non nul n,un1un(1n11). e e
On pose f ( x ) = ln ( 1 + e–x)
3.
a.
Montrer que la suite ( un) est strictement croissante
a.
Montrer que la suite ( un) est majorée et convergente. Soitlsa limite.
1
4.
Se et limS2 S1et S2sont des séries géométriques, montrer que lim1e11 n n+ +
2 e e21
c.
1 1 1 On poseS11 12..1.netS422...2n e e e e e e A l’aide des relations ( 1 ) et ( 2 ), montrer que :S112S2lnunS1
b. c.
a.
Partie A: Soit f une fonction définie surpar f ( x ) = ( 2 + cos x ) e1-x 1.Montrer que pour tout x de ( x ) > 0, f
Montrer que pour tout x de,2 cosxcosxsinx 4 En déduire que, pour tout x de + cos x + sin x > 0, 2 Montrer que f est strictement décroissante sur.
Calculer la valeur approchée del à 0.1 près.
c.
22e21nll1 Montrer que(e1)e1
b.
4.
Exercice 2 :
Montrer que, dans l’intervalle [ 0 ; ( x ) = 3 admet une solution unique f], l’équation Donner un encadrement de .
a. b.
a. b. c.
3.
2.
Montrer que pour tout x de, e1-x e 3 ( x ) f1-x En déduire les limites de f en +et -. Interpréter géométriquement la limite de f en +.
pour cela, on étudie les
t
1.Montrer que, pour tout nombre réel t strictement positif,tt22ln(1t) fonctions u et v définies pour tout réel t positif par : 2 u ( t ) = ln ( 1+ t ) – t et v ( t ) ln ( 1 + t ) – t +t = 2 2x 2.En déduire que, pour tout nombre réel x,exe2f(x)ex
Partie B: On veut calculer l’aireA exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. 1 cost e1tdt 1.Montrer queA= 2 e – 2 + 0 1 1 2.On pose I =cost e1tdtet J =sint e1tdt 0 0 a. A l’aide d’intégrations par parties, montrer que : I = - cos 1 + e – J et J = - sin 1 + I b. En déduire la valeur de I
3.
Déterminer la valeur exacte deAen unités d’aire.
Partie C: h est la fonction définie surpar :h(x1)nisx 2 cosx 1.a. Montrer que la fonction h admet des primitives sur. b. Calculer la primitive H de la fonction h qui prend en 0 la valeur 1 + ln 3.
2.
3.
4.
a. Déterminer ln ( f ( x ) ) pour tout x de. b. Etudier le sens de variation de la fonction H.
On note9la courbe représentative de la fonction définie surpar xa x ) cos1 – x + ln ( 2 + On appelleDla droite d’équation y = - x + 1
a.Etudier la position relative de9et deD. b.Déterminer les abscisses des points communs à9etD&
a. Déterminer une équation de la tangente T à9au point d’abscisse 0. c.Etudier la position relative de9et de T .
4.Montrer que la courbe9 contenue dans une bande du plan limité par deux droites parallèles dont on est donnera les équations.
Exercice 3 : Dénombrement (questions indépendantes)
1.
2.
3.
4.
Quel est le nombre de numéros de téléphone possible de 10 chiffres ?
Quel est le nombre de numéros de téléphones portables, sachant qu’ils commencent par 06 ?
Quel est le nombre de nombres à 10 chiffres dans le système décimal ?
Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules jaunes et 3 boules vertes. On tire simultanément 3 boules : a. Combien y a-t-il de possibilités pour tirer une seule boule verte ? b. Combien y a-t-il de possibilités pour tirer au moins une boule verte ? c. Combien y a-t-il de possibilités pour tirer une boule jaune et une boule verte ?
