Mathématiques commune 2003 Concours National DEUG
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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mathématiques commune 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques commune 2003 sur Bankexam.fr.
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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MATHEMATIQUES PARTIE I Durée : 2 heuresLes calculatricessont autorisées.NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les trois exercices sont indépendants. Dans toutes les questions, il sera tenu le plus grand compte de la rigueur de la rédaction; toute réponse insuffisamment justifiée sera considérée comme nulle. n 1 ExerciceI –Un développement asymptotiquHn∑.e de= k=1k 1.Un équivalent deHnn 1 Soitnun entier naturel non nul, on poseH=. ∑ n k=1k k+1 1 11 a.Sikest un entier non nul, montrer que :≤dt≤.∫k k+1t k 1 b.En déduire l’encadrement suivant :lnn Hnlnn+1. + ≤ n c.Donner un équivalent deHnen∞. 2.Suites adjacentes Soitdeux suites de réels(v) et (w) adjacentesc’estàdire que : n n (v() est croissante,w) est décroissante etlim (v−w)=0 . n nn n n→+∞ a.Montrer qu’il existe un entier naturelntel que, pour tout entiern≥n,v≤w+1 . 0 0n n Endéduire que la suite(vmajorée.) est n b.Montrer de même que la suite(wminorée.) est n c.En déduire que les suites(vn) et (wn) sontconvergentes et convergent vers une même limite réelle. Tournez la page S.V.P.
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3.Constante d’Euler 1 Onpose, pourn≥1,c=H−lnnetd=c−. n nn n n 1 1 a.Montrer que, pourn≥1,≤ln(n+1)−lnn≤. n+1n b.Montrer que les suites(c) et (dvers une même limite.) convergent n n Onnote alorscette limite (est appelée constante d’Euler). c.Montrer que :Hlnn+ +o(1) . n ExerciceII– Endomorphismesf vérifiant : Kerf=Imf. A. Propriétés 1.SoitEunespace vectoriel de dimensionnet soitfun endomorphisme deEvérifiant : Kerf= Imf. a.Montrer que nécessairementnest un entier pair et déterminer le rang defen fonction den. b.Montrer que, pour tout vecteurxdeE,(f!f)(x)=0 . 2.Soitfun endomorphisme deEvérifiantf!f=0 etdimE= 2 rang (f). a.Montrer que Imf⊂Kerf. b.En déduire que Kerf= Imf. B. Cas général * Soitn∈, soitEunespace vectoriel de dimensionnet soitfun endomorphisme deEde rangpvérifiant Kerf= Imf. 3.Donnerpen fonction den. 4.SoitF unsupplémentaire de Kerf dansE, soit(e,e, ...,e) unebase deFsoit et 1 2p (e' ,e...,' ,e' )une base de Kerf. 1 2p a.Que peuton dire de la famille(e,e, ...,e,e' ,e...,' ,e' )? 1 2p1 2p b.Montrer que la famille(f(e1),f(e2), ...,f(epune base de Im)) estf. c.Posons, pour tout entiericompris entre 1 etp,ep+if(ei) ;calculerf(ep+i) . = d.(Montrer que la famillee1,e2, ...,ep,ep+1, ...,e2p) estune base deEet écrire la matrice de fdans cette base.
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C. Application SoitEunespace vectoriel de dimension 4 de baseB=(e,e,e,e) etsoitfun endomorphisme 1 2 34 deEdont la matrice dans la baseBest : 0−1−1 0 − − 1 00 1 A= 1 0 0 1 0 1 1 0 5.Déterminer, en fonction des vecteurs de la baseB, une base de Kerfet une base de Imfet, sans aucun calcul, déterminerA². 6.Montrer qu’il existe une baseB’deEdans laquelle la matrice defest triangulaire. 7.Déterminer les vecteurs d’une telle baseB’en fonction des vecteurs de la baseB. ExerciceIII– Règle de RaabeDuhamel etvdeux séries à termes strictement positifs telles qu’il ex ∑ 1.Soitun∑nisten∈ vérifiant : 0 v un+ +1n1 ∑ ∑ ∀n≥n,≤, montrer que : sivconverge alorsuconverge. 0n n u v n n 2.Soitβ(un réel non nul etunsuite de réels strictement positifs satisfaisant à :) une uβ1 n+1 =1− +o.( ) u nn n 1 a.Montrer que, si l’on pose, pourn≥1et réel>0,v=, on a : nα n v uβ − α1 n+1n+1 +− =o( ). v un n n n b.Siβ >1 ,montrer que la sérieuconverge. (On pourra choisir le réelα∈]1,β[) ∑ n c.Siβ <que la série1, montrerudiverge. ∑ n 3.Déterminer, en utilisant la règle de RaabeDuhamel (résultats2bet2ccidessus), la nature des séries de terme généralu: n (2n) ! a.u=. n 2n2 2 (n!) a(a+1)...(a+n−1) b.u=oùaetbsont deux réels qui ne sont pas des entiers négatifs. n b(b+1)....(b+n−1) (On discutera selon la valeur deb−a)Fin de l’énoncé.
