Mathématiques A 2005 Classe Prepa MP Concours E3A
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Concours du Supérieur Concours E3A. Sujet de Mathématiques A 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques A 2005 sur Bankexam.fr.
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` e3a ConcoursENSAM ESTP EUCLIDE ARCHIMEDE ´ Epreuve de Math´ematiques AMP dur´ee4heures
L’usagedelacalculatricen’estpasautoris´e.
Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurd’e´nonce´, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’ilestamen´e`aprendre.
Probl`eme Partie I SoitIlleirusee´ffitnerde´rnonepnua`tiuniullvaernt’le´e`eroidnuqtade.ointnsidOncoI: R 00+y=0 y)0 ( E 2 1. Montrerque l’ensembledes solutions de (0) surIestx Acosx+Bsinx(A, B) . R E →| ∈ ©Rª On suppose pour queles questions 2 et 3 queIe.r´jouninestlaeletvrnoamedn 2n+1 2. Soitgune solution de (0) sur l’intervalleIdire des suites (. Que peutong(nπ)) etg(π) ? E∈ ∈N n2 Nn 3. Soitgune solution de (0). On suppose queg(xnie lorsque) tend vers une limitexten¡d vers +¢. Montrerquegest E ∞ la fonction nulle.
Partie II Dans cette partie, on note∞vectoriel des fonctions de classele espace( )∞.selusr`aetlevasrurel´e R RR C4C On note=e1, e2, e3, e4la base canonique de: R C {} e1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0), e4= (0,0,0,1). 4 Soitv= (a, b, c, d) dans. On notehvontied´pp’acalira:linserup R R hv:x(ax+b) cosx+ (cx+d) sinx. 7→ 4 On noteVl’ensemble des applicationshvlorsquevparcourt . R 1. MontrerqueVdeest un sousespace vectoriel∞( ). R C 4 2.De´montrerquel’applicationquienvoielevecteurvsur l’applicationhveenerttdne´unitomisphormeisV. En R =hh ,h ,h ,est une base deV. de´duirequee1e2e3e4 B {} 4 3. Soitv= (a, b, c, d) dans. Exprimerl’applih0v0+hv(x). Onnoteψ(hv) cette application. cationx(x) R 7→ (i)De´montrerqueψest un endomorphisme deV. (ii)De´terminerlenoyaudeψest le rangde. Quelψ? (iii) Expliciterla matrice deψsur la base deV´e,de´e´einrmteton,duirnd´ebaseeuneqaeu`ela2nE.tsoieimagdel’ B deψ. 4.Onconside`rel’´equationdiffe´rentiellesur: R y00+y= cosx(1) E R´esoudrel’e´quationdiffe´rentielle()sur. R 1 E
Dans le reste du probl`eme, on consid`ere l’´equation diff´erentiellesur∗+: R 1 y00+y= () xE Partie III 2 Danscettepartie,onconsid`erelafonctionFde´usrnei:par R xt e− F(x, t) =. 2 1 +t 1. Soitxunr´fi.sotieepl 1a.D´emontrerl’in´egalite´: 1 t+, F(x, t). R2 ∀ ∈1 +t + 1b.Ende´duirequel’inte´grale∞F(x, t)dtest convergente. R 0 Onpeutdoncde´nirsur+une fonctionGen posant : R + ∞ x+, G(x) =F(x, t)dt. Z R ∀ ∈ 0 2.Enutilisantl’in´egalit´ed´emontre´een1a,justierquelafonctionGest continue sur+nleisior´ecvecpaarecnone´nO. R th´eor`emeutilise´. 3.Onseproposedede´montrerqueGest d´erivable sur∗. Soit²nu´reeslemetcirtitisoptnf. R + 2∂ F 3a. Justi erqueFest de classe∞usD´etr.nerlermie´da´virapeeeitrellaoiup(ntx, t). R C ∂ x 3b.Enutilisantl’in´egalit´e xt te−²t x[²,+ [, t+,e− R2 ∀ ∈∞ ∀ ∈1 +tquel’onjustiera,d´emontrerlespointssuivants: + ∂F (i) Pourx >e,l’i0gralnt´e∞(x, t)dtest convergente. 0∂x R∞ (ii) LafonctionG]0leesteinalrvlbseru’ldte´irav,+ [et on a +xt ∞te− x]0,+ [, G0(x) =dt. Z ∀ ∈∞ −01 +t 2 rivable sur∗+uesad´eriv´eee 4.Ensuivantlesmemes´etapesquepourlaquestion3,de´montrerqueGest deux fois d´et q R secondeve´rie: + 2xt ∞ − te x∗, G00(x) =dt. Z R2 ∀ ∈1 +t + 0 5. MontrerqueGnesoestue.tnerlleidnoie´ffi´el’atqutiludeon E 6a.De´montrerqueGenpalpciseutrusetanssoicr´endioat+. R 6b.Ende´duirequeG(x) admet une limite lorsquexdnevetD.e´sr+inertermelimcett.eti ∞ Partie IV Soitfelrurse´leeldse´nieetcontinuesurncfoneuva`aonti∗suppose que. Onfv´eri eles quatre conditions suivantes R + : a.fest positive ; b.fest d´ecroissante ; c. limf(t) = 0 ; t+ → ∞ d. l’applicationgtou,pourtde´neitdans∗, parg(t) =tf(t) admet une limitenie lorsquettend vers 0 par valeurs R+ supe´rieures.
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1. Soitun nune suite strictement croissante de nombres positifs.On suppose que limn+un. Montrerque la= + N { }∈n→ ∞∞ s´eriedetermege´ne´ral(1)f(unic´srpe´ecarneno(on´entevergtcon.)e´silitueemr`eoh´ettlenemes) − 2. Montrer quesin(t)f(t) admet une limite lorsquetE.serueiriude´dnfolaueeqontincussrre´pvrapueladvens0ert sin(t)f(tavre[ell0ittn)seable´egr’intsurl, x], pour toutx >0. | | 3. SoitnOn poseun entier naturel non nul.wn:aripn´eldeerl´e (n+1)π Z wn= sin(t)f(t)dt. nπ| | 3a. Justi erl’encadrement :2f((n+ 1)π)wn2f(nπ). 3b.Ende´duirequ’ilexisteundans l’intervalle [nπ,(n+ 1)π] tel quewn= 2f(un).On´sicileoncevae´rpnonearec th´eor`emeutilise´. 3c. Montrerque : (n+1)π n Z wn= (1) sin(t)f(t)dt. − nπ 2nπ(2n+1)π 4. Onconsid`ere les deux suitessin(t)f(t)dtet sin(t)f(t)dt. 0 0 n Ro nR o n n N N ∈ ∈ 2nπ 4a. Montrerque lasuite sin(t)f(t)dtest croissante. 0 n Ro n N ∈ (2n+1)π 4b. Montrerque lasuite sin(t)f(t)dtets´dnte.ecroissa o 4c. Encomparant les termensRcanoillrtebase´,acundechencevergitsuuxdeesecd’eedrentleelersvenusimiletlcommune. 0 n N ∈ y Pour tous r´eels positifsxetytels quex y, on poseIf(x, y) =sin(t)f(t)dt. x Rx∞ + 5.D´eduirede4.quel’applicationIf(x, y) admet une limitenie lorsquey. Ontend vers +note sin(t)f(t)dtcette ∞ R limite. + sin(t) 6. Soitxunr´eelednceexl’teistsuJreiisop.fitIx=∞dt. x t R Partie V 1 1. Soitxnu´rlafonctionoM.fitiseuqrertnictrlseepontmetehrad:´eh(tyhsehtopese`s=),erv´elixnie sur∗+px x+t R de la partie IV.
Onpeutdoncde´nirunefonctionHsur∗en posant : R + + ∞sin(t) Z x∗, H(x) =dt. R+ ∀ ∈t+x 0 2.Eneffectuantunchangementdevariables,d´emontrerl’e´galit´e: + ∞sin(t x) x∗, H(x) =−dt. Z R + ∀ ∈xt 3. End´eveloppant sin(t xd´),onemertrequHdtsefxuedsioire´vablesuretqu’no:a ∗ R+ − 1 x∗, H00(x) +H(x) =. R + ∀ ∈x
4. Quelle estla limite deH(x) lorsquextend vers +? ∞ 5. End´eduire que: x∗, H(x) =G(x), R ∀ ∈ + la fonctionGtant´eniedd´eparanalsII.itIe
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