Mathématiques 3 1999 Classe Prepa PC Concours E3A
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Concours du Supérieur Concours E3A. Sujet de Mathématiques 3 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 3 1999 sur Bankexam.fr.
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concours ESTP-ENSAM-ECRIN-ARCHIMEDE Epreuve de MATHEMATIQUES 3 Filie`rePC dur´ee4heures
Lesdeuxprobl`emessontinde´pendants.
Proble`meA
2 ∗ Si (p, q)∈(N),Mp,q(Rgnele)d´esiR−irotedlecapsceveas`eatsmceriplignes etq,sa`noenclotsciencoeffi re´elsetMp(R) =Mp,p(R). Un´ele´mentdeMp,q(R)tnes´eot(ai,j),1≤i≤p ,1≤j≤q. p Un vecteur deR ,snadecie,quninotrmasaetoptre´a`asabesacrapMp,1(Rtteremelos).t´esntnoamˆeparl SiNest une norme surMp,q(R),la suite (An),ou`n∈N ,e´´lmenetsde’dMp,q(R) admet une limiteBdans n Mp,q(Rmeleeutsie)sle(e´letirealustnisN(An−B)) apour limite 0 n On note : limAn=B⇔limN(An−B) = 0 n→+∞n→+∞ Les coefficients de la matrice limiteBsont les limites des coefficients de la matriceAn. Partie I + Onadmettraquel’application,not´eekk,deMp,q(R) dansRe´dr:paiefin q X ∀A∈ Mp,q(R),kAk= max|ai,j| 1≤i≤p j=1 ∗ est une norme surMp,q(R),nsdasulaopadeet´euqellet,roupeditetme`ebl∀r∈Nutera(nabuvecuecrisd’´ e´vident): ∀A∈ Mp,q(R),∀B∈ Mq,r(R),kABk ≤ kAk kBk 1) SiA∈ Mp(R) , on note (λi) lesvaleurs propres deAdansC ,etρ(A) = max|λi|. 1≤i≤p 1≤i≤p Montrer que : k ∗k ∀i∈[1, p],∀k∈N ,|λi| ≤A N End´eduirequesiAest diagonalisable alors : k limA= 0⇔ρ(A)<1 k→+∞ (0d´esignelamatricenulledeMp(R) ) 2)A∈ Mp(R), b∈ Mp,1(R), Ainversible. Onconside`reuneme´thodeder´esolutionapproche´edel’e´quationAx=b,`oubonn´eetsedtxest l’inconnue. On de´composelamatriceAsous la formeA=M−No,u`MetNedstnemesont´el´deuxMp(R) , avecMinversible −1 etM Ndiagonalisable. −1−1 L’e´quationAx=but`a´equivax=M Nx+M b. (n) Onde´finitunesuited’´ele´mentsdeMp,1(R), xo`u,n∈Npar : n (0) (n+1)−1 (n)−1 x∈ Mp,1(R) et∀n∈N , x=M Nx+M b (n) (0) a) Exprimerxen fonction deM, N, xet de la solutionxnioatque´’ledAx=b. (n) b)Donneruneconditionn´ecessaireetsuffisantepourquelasuitexconverge versx. n Partie II On donne la matriceA∈ Mp(R). 2−1 0. . . .0 −1 2−1 0. . . . 0−1 2. . . . . .0. .−1. . . A= . . .−1 2. . . . . . . . .−1 0 . . . . .−1 2−1 0 0. . .0−1 2
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telle que : ∀i ,1≤i≤ap ,i,i= 2 ; ∀i ,2≤i≤p ,ai,i−1=−1; ∀i ,1≤i≤p−1, ai,i+1=−1; touslesautrescoefficients´etantnuls. 1)Ipngnaltmade´is´eitderiatunceMp(R),soitDp= det(A−λIp). ∀p∈N , p≥2,trouver une relation entreDp, Dp−1, Dp−2etλ. On prendraD0= 1 etD1= 2−λ. 2) Soitxurleopprresaericosa`e´avalunvecteurpropλde la matriceA. Montrer que|λ−2| ≤dia’la`2edekA−2Ipk 3) On pose 2−λcos= 2θ ,0≤θ≤π. CalculerDpen fonction depetθ. Examiner les casθ= 0 etθ=π. Ende´duirelesvaleurspropresdeA. Aest-elle diagonalisable ?
Partie III Danslade´compositionA=M−Neen´aunodI 2),Aest la matrice duIIet l’on poseM= 2Ip,d’o`u −1 N= 2Ip−Aou`Ipde´te´dseignelamatriceuniMp(R).SoitJ=M N, J∈ Mp(R). Onreprendlame´thodeite´rativedeI 2). (n+1) (n) 1) Pourn∈N ,expliciter la matricexen fonction de la matricexet de la matriceb.sess´ePresicuotr e´l´ements. (n) 2) Trouver les valeurs propres deJet calculerρ(J), ρi´ndfie´eteu´atnayaI 1).La suitexest-elle n convergente ? 3) Montrer que : 2 π 1−ρ(J)≤ 2 2p Quelleconclusionpeut-onentirersurl’utilisationdelam´ethodedanscecas? Probl`emeB Partie I 1) Soitx >0 ety∈R.On notefl’application de ]0,+∞[ dansRniefid´:rape −t−xt e−ecos(yt) f(t) = t Montrer quefrgue0a]rlnibs´etets,+∞[. 2) Montrer que∀t≥0,∀y∈R ,0≤1−cos(yt)≤ |y|teu:ndteeeqirdu´e (x−1)t e−1 ∀t >0,|f(t)| ≤+|y| t 3) Soitx >0 ;∀y∈Ron note : Z +∞ −t−xt e−ecos(yt) F(x, y) =dt t 0 etFxl’application : R→R Fx: y→F(x, y). a) Montrer queFxest continue surR( On pourra distinguert >1 ett <1).Onevaaaerdgncone´recn pre´cisionlethe´ore`meutilis´e. 10 Ret calculer∀y∈R, F(y). b)Montrer queFxest de classeCsurx c)D´emontrerque:∀ε >0 +∞xε Z Z −t−xt−t e−e e dt=dt t t ε ε End´eduireFx(0) puisF(x, y).
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Partie II. ∗ 1) a) Soity∈R .Montrer l’existence de A Z cos(yt) limdt , A→+∞t 1 puis celle de A+∞ Z Z −t−t e−cos(yt)e−cos(yt) limdt=dt . t t A→+∞ 0 0 On pose encore : +∞ Z −t e−cos(yt) F(0, y) =dt . t 0 b) Soity >0 etz >0.Montrer que l’applicationhde ]0,+∞[ dansRnfieide´ap:r t − e−cos(t) y −tz ∀t >0, h(t) =e t estinte´grablesur]0,+∞[.Dans la suitey >0. c) Montrer l’existence de : A+∞ Z Z t t − − e−cos(t)e−cos(t) y y limdt=dt . t t A→+∞ 0 0 On noteHl’application de ]0,+∞[ dansR:rape´deinfi
+∞+∞ Z Z t t − − e−cos(t)e−cos(t) y y −tz ∀z∈]0,+∞[, H(z) =e dtetH(0) =dt t t 0 0
2) Montrer queHest continue sur ]0,+∞[. 3)D´eterminerlimH(z). z→+∞ 1 4) Montrer queHest de classeCsur ]0,+∞edd´enet[uirelavaleurdeH(z) pourz >0. 5) Pourt≥0 on pose : +∞ Z u − y e−cos(u) ϕ(t) =du . u t
−tz a) Montrer que∀z >0 l’applicationt→e ϕ(tselbarge0]rut´inst)e,+∞[ et que :
+∞ Z −tz H(z) =H(0)−z eϕ(t)dt . 0
b)End´eduirequeHest continue en 0 ( on pourra remarquer quelimϕ(t) = 0 ). t→+∞ ∗ 6) CalculerF(0, y) poury∈R .
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