Mathématiques 2008 Sciences Economiques et de Gestion Université Paris 1
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Examen du Supérieur Université Paris 1. Sujet de Mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.
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Soit la matriceM :a– 11 – 1a– 1 M= ,oùaest un réel quelconque. 1 –1a I.Calculer son déterminant(1 point). II.Pour quelles valeurs deale systèmeMX = 0 a-t-il une solution unique ? Quel est alors kerM? (1,5 points)a1– 1 – 1a– 1 III.Soit la matriceM =avec ,a= 1. 1 11 –a 1. Déterminer son rang.(1 point)2. En déduire la dimension de kerM.(0,5 point)1 3. Déterminer kerM.(1 point)1 3 3 4définie par Y =. L’application de IRdans IRMX est-elle injective ? surjective ? bijective ? 1 (1,5 point)a1– 1 – 1a– 1 IV. Soit la matriceM =avec ,a= – 2. 2 1 –1a 1. Déterminer son rang.(1 point)2. En déduire la dimension de l’ensemble kerM.(0,5 point)2 3. Déterminer kerM.(1 point)2 4. Quelle condition doit vérifier Y pour que le systèmeMX = Y ait au moins une solution ? 2 Existe-t-il des cas où ce système a une solution unique ?(1,5 point). a– 11 – 1a– 1 V.Soit la matriceN = ,aveca= 0. 1 –1a 1. Déterminer son rang.(1 point)3 2. Les colonnes de la matriceNforment-elles une base de IR? Le cas échéant déterminer les 2 –3 coordonnées du vecteurdans cette base.(2 points) 3 3. Déterminer le réel λtel queM =N– λI, oùIest la matrice identité d’ordre 3.(0,5 point)111 4tel que. Déterminer le réel λM =N– λI, oùIest la matrice identité d’ordre 3.(0,5 point)222 5. En déduire les valeurs propres deNainsi que leurs sous-espaces propres associés.(2 points)–1 6. Pourquoi peut-on écrireNsous la formePDP. Déterminer les matricesPetD.(2 points). 7. Soit l’application linéairef( ) dont la matrice, par rapport aux bases canoniques de ses espaces de départ et d’arrivée, estN. n . a. Quels sont les espaces de départ et d’arrivée def( ) ? (on suppose qu’ils sont de type IR ) (0,5 points). . b. Déterminer la matrice de l’applicationfofpar rapport aux bases canoniques de ses( ) espaces de départ et d’arrivée.(1 point)c. Quel lien existe-t-il entre cette matrice et la matriceDde la question 6 ?(1 point)Justifiez toutes vos réponses
