Mathématiques 2008 Concours GEIPI
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Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.
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Epreuves de Mathématiques et de Physique-Chimie Ne rien inscrire Mercredi 7 mai 2008 ci-dessous 9 h - 12 h SUJET DE MATHEMATIQUES Nous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets 1 de mathématiques et de physique-chimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématique est de 1 h 30. 2 Il est noté sur 20 points. 3 L’usage d’une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, 4 est interdit. Aucun document n’est autorisé. TOT AL L’usage du téléphone est interdit. Vous devez traiter les quatre exercices indépendants proposés. Les démonstrations ne sont à rédiger que si elles sont explicitement demandées.
NE RIEN ECRIRE DANS LA PARTIE BARREE
Lesujetcomporte8pagesnume´rot´eesde2a`9
EXERCICE I - (7 points) Donnerlesre´ponses`acetexercicedanslecadrepr´evu`alapage3
Onconsid`eredeuxfonctions f et g de´finiessur · 32 π ; 2 π ¸ par : os x f ( x ) = cos x g ( x )=1c − sin x . Soient C f et C g lescourbesrepr´esentativesde f et g dansunrepe`re ( O,~ı,~ ) orthonorme´. I-1-a-Pour tout x de · 32 π ; 2 π ¸ , g ( x ) − f ( x ) s’´ecritsouslaforme: g ( x ) − f ( x ) = 1 − h (s x i) x .Donneruneexpressionsimplifi´eede h ( x ) . n I-1-b-D´eterminerl’ensemble S dessolutionsdel’e´quation g ( x ) − f ( x ) = 0 dans ; 2 . I-1-c-· Et 3 u 2 π dier le π ¸ signe de g ( x ) − f ( x ) sur · 2;2 π ¸ . 3 π I-1-d-De´terminerlescoordonne´esdespointsd’intersection C et D des courbes C f et C g . Pre´cisezlespositionsrelativesdescourbes C f et C g . I-2-a-De´terminer f 0 ( x ) ,o`u f 0 d´esignelad´eriv´eede f . I-2-b-Dresser le tableau des variations de f . I-3-a-De´terminer g 0 ( x ) ,o`u g 0 de´signelade´rive´ede g . I-3-b-Dresser le tableau des variations de g . I 4-a-Don ´quation des tangentes T C et T D a`lacourbe C f aux points C et D . -ner une e I-4-b-Donnerunee´quationdestangentes T 0 C et T 0 D a`lacourbe C g aux points C et D . I-5-Tracer les courbes C f et C g ainsi que les tangentes T C , T D et T 0 C et T 0 D . -6-a-On pose : I = Z 32 2 π π cos x dx et J = Z 32 2 π π 1c − ossi x n x I dx . D´terminer les valeurs de I et de J . Justifier les calculs. e I-6-b-Sur la figure de la question I-5-, colorier la partie de plan d’aire I − J unit´esd’aires.
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I-1-a-I-1-b-I-1-d-I-2-a-I-3-a-I-4-a-I-5-
I-6-a-
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REPONSES A L’EXERCICE I
h ( x ) = I-1-c-3 π 2 S = n o sign x e de g ( x ) − f ( x ) C ¡ ; ¢ et D ¡ ; ¢ Positions relatives de C f et C g : I-2-b-x 32 π f 0 ( x ) = f 0 ( x ) f ( x ) I-3-b-x 32 π g 0 ( x ) = g 0 ( x ) g ( x ) T C : I-4-b-T 0 C : T D : T 0 D :
I = car J = car
~ 3 π ~ 2 ı
I-6-b– Utilisez la figure de I-A-5-. CONCOURS GEIPI 2008 MATHEMATIQUES
2 π
2 π
2 π
2 π
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EXERCICE II - (2,5 points) u Donnerlesre´ponses`acetexercicedanslecadrepre´v`alapage5
Danscetexercice,pourchaqueprobabilite´demand´ee,ondonnera sa valeur exacte ,´ecritesous forme de fractionirre´ductible .
Au cours d’une loterie, vingt billets sont mis en vente au prix de 6 euros le billet. Cinq billets seulement sont gagnants, chacun rapportant 30 euros. Unjoueurache`tedeuxbillets. On note X lavariableale´atoirerepr´esentantleb´ene´ficenetdujoueur,exprim´eeneuros.Le b´en´eficenetestlegain(positifounul)per¸cuparlejoueura`l’issuedelapartie,diminue´duprix d’achatdesdeuxbillets.Leb´ene´ficenetpeutdonceˆtrene´gatif.
II-1-a-Donner,dansletableaupr´evu,laloideprobabilit´ede X . II-1-b-Donnerl’esp´erancemathe´matique E ( X ) de X . II-2-L’organisateurdelaloterieproposedemultiplierlesgainspardeuxsionach`eteles billetsa` 13 euros le billet. Soit Y lavariableal´eatoirerepr´esentantleb´ene´ficenet,eneuros,d’unjoueurache-tantdeuxbilletsa` 13 euros le billet. II-2-a-Donner,dansletabl´,laloideprobabilit´ede Y . eau prevu II-2-b-Donnerl’espe´rancemathe´matique E ( Y ) de Y . II-2-c-Lejoueura-t-ilint´erˆeta`accepterlapropositiondel’organisateur?Justifierlare´-ponse.
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II-1-a-
II-1-b-
II-2-a-
II-2-b-
II-2-c-
x i
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REPONSES A L’EXERCICE II
P ( X = x i )
E ( X ) =
y i
P ( Y = y i )
E ( Y ) =
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EXERCICE III - (4 points) Donnerlesre´p`etexercicedanslecadrepre´vua`lapage7 onses a c
Dansleplancomplexerat´urepe`re ( O,~u ; ~v ) orthomorme´,onconsid`erelespoints A , I ppor e a et B d’affixes respectives : z A = 1 , z I = 2 et z B = 3
Pour tout complexe z ,diff´erentde 2 , on pose : z 0 = z − 12+ 2
Onconside`relafonction F quia`toutpoint M duplan,diff´erentde I et d’affixe z , associe le point M 0 d’affixe z 0 .
III-1-D´eterminerl’ensemble E des points M tels que F ( M ) = M .Justifierlare´ponse. − →−−→ III-2-a-Calculer, en fonction de z , les affixes des vecteurs IM et IM 0 .
III-2-b-End´eduireunerelationentreleslongueurs IM et IM 0 et une relation entre les gles ( u~ ; − M → ) −−→ an I et ( ~u ; IM 0 ) .
III-3-Onconside`reunpoint M diffe´rentde I , de A et de B . Soit z son affixe. 1 − z 0 1 − z III-3-a-Donnerlere´el β quive´rifie: 3 − z 0 = β 3 − z . M 0 A M A III-3-b-Ende´duireunerelationentreetetunerelationentrelesanles M 0 B M B g ( M − − 0 → B ; − −→−−→−−→ M 0 A ) et M B ; M A ) .
III-3-c-On suppose dans cette question que M appartienta`lame´diatrice Δ du segment [ AB ] .Quepeutonende´duirepourlepoint M 0 ?Justifierlare´ponse.
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III-1-
III-2-a-
III-2-b-
III-3-a-
III-3-b-
III-3-c-
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REPONSES A L’EXERCICE III E = n o car
− → affixe de IM : −−→ affixe de IM 0 :
Relation entre IM et IM 0 : Relation entr ( ~u − → t ( u~ ; I −− M → 0 ) : e ; IM ) e
β =
M 0 A M A Relation entre et : M 0 B M B
−− Relation entre ( M − − 0 → B ; M − − 0 → A ) et ( − M −→ B ; M → A ) :
M 0 car
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EXERCICE IV- (6,5 points) Donnerlesr´eponsesacetexercicedanslecadrepr´evua`lapage9 ` QuestionPre´liminaire Onconside`reuntrianglequelconque LM N du plan. On note H la projection orthogonale de L sur la droite ( M N ) et I le milieu du segment [ M N ] . IV-0-D´emontrerquelesairesdestriangles LM I et LIN sont´egales.
Soit ABC untriangleduplan.Onconsid`erelespoints A 0 , B 0 et C 0 de´finisdelafac¸on suivante : −−−−→ AC → 0 =1 A −→ B − B − A → 0 =1 B − → C CB 0 =1 − C → A 3 3 3 Les droites ( AA 0 ) et ( BB 0 ) se coupent en un point P , les droites ( BB 0 ) et ( CC 0 ) se coupent en un point Q et les droites ( AA 0 ) et ( CC 0 ) se coupent en un point R .
IV-1-Construire les points A 0 , B 0 C 0 et les points P , Q , R sur la figure d ´ , onnee. IV-2-D´eterminerlesr´eels a , b et c tels que : -C 0 soitlebarycentredusyste`me { ( A, a ) ; ( B, 1) } , -A 0 soitlebarycentredusyst`eme { ( B, b ) ; ( C, 1) } , -B 0 soitlebarycentredusyst`eme { ( A, 1) ; ( C, c ) } . IV-3-Onconside`relesbarycentres G 1 , G 2 et G 3 dessyste`messuivants: G 1 = bar { ( A, 2) ; ( B, 1) ; ( C, 4) } , G 2 = bar { ( A, 4) ; ( B, 2) ; ( C, 1) } , G 3 = bar { ( A, 1) ; ( B, 4) ; ( C, 2) } . IV-3-a-Expliquer pourquoi G 1 appartient aux droites ( CC 0 ) et ( BB 0 ) . IV-3-b-Ende´duirequelestlepoint G 1 . IV-3-c-Demeˆme,identifierlespoints G 2 et G 3 . IV-4-A l’aide de la question IV-B -3-,d´eterminerlesr´eels x , y , x 0 et y 0 tels que : −→−→ y C − → B et − C → Q 0 C −→ A + y 0 C − → B . CR = x CA + = x End´eduirelapositionde Q sur le segment [ CR ] .Justifiertouteslesre´ponses. IV-5-a-On admet alors que le point P est le milieu du segment [ BQ ] et que le point R est le milieu du segment [ AP ] . A l’aide des questions IV-0-et IV-4-,justifierchaque´egalit´ed’airessuivante: Aire ( P QR ) = Aire ( P QC ) Aire ( P QC ) = Aire ( CBP ) Aire ( P QR ) = Aire ( BRP ) Aire ( BRP ) = Aire ( BRA ) Aire ( P QR ) = Aire ( AQR ) Aire ( AQR ) = Aire ( AQC ) rt k = Aire ( P QR ) IV-5-b-De´termineralorslerappo Aire ( ABC ) . 8/9
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