Mathématiques 2007 Concours FESIC
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Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
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SELECTION FESIC
ADMISSION en 1ère ANNEE du 1er CYCLE 2007
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Samedi 12 mai 2007 de 14h. à 16h.30 INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS L'usage de la calculatrice estinterditainsi que tout document ou formulaire. L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage,seuls les 12 premiersseront corrigés. Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F). Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse). Toute réponse exacte rapporte un point. Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point. L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'estàdire ne rapporte ni ne retire aucun point. Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'estàdire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes). L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis. INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE REPONSES Les épreuves de la Sélection FESIC sont des questionnaires à correction automatisée. Votre feuille sera corrigée automatiquement par une machine à lecture optique. Vous devez suivre scrupuleusement les instructions suivantes : Pour remplir la feuille de réponses, vous devez utiliser un stylo bille ou une pointe feutre de couleur noire ou bleue. Ne jamais raturer, ni gommer,ni utiliser un effaceur. Ne pas plier ou froisser la feuille.
1.Collez l’étiquette codebarres qui vous sera fournie (le code doit être dans l’axe vertical indiqué). Cette étiquette, outre le codebarres, porte vos nom, prénom, numéro de table et matière. Vérifiez bien ces informations. Exemple:
2.Noircissez les cases correspondant à vos réponses :
FaireNe pas fairePour modifier une réponse, il ne faut ni raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Annuler la réponse par un double marquage (cocher F et V) puis reporter la nouvelle réponse éventuelle dans la zone tramée (zone de droite). La réponse figurant dans la zone tramée n'est prise en compte que si la première réponse est annulée. Les réponses possibles sont : VF V Fvrai faux abstention abstention vrai faux abstention Attention :vous ne disposez que d'une seule feuille de réponses. En cas d'erreur, vous devez annuler votre réponse comme indiqué cidessus. Toutefois, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par le surveillant.
Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2007 Exercice n°1 G G Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal directO;u,v), on considère les points Ad'affixei,Md'affixezetM' d'affixez', avecz'≠z. On appelle: hl'homothétie de centreAet de rapport 2; G tla translation de vecteurv; π rla rotation de centreAet d'angle. 2 a)Si M' =h(M),alorsz' = 2z–i. b)Si M' =t(M),alorsz'=z–i. c)Si M' =r(M),alorsA appartient à la médiatrice de[MM']. d)SoitBle point d'affixe 4 – 3i. Le point B'=r(B)a pour affixe3 + 4i. Exercice n°2 G G Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal directO;u,v), on considère les pointsAetBd'affixes respectivesa=−5+i15 etb3= 2 +2i. n2nπ a)Soit n∈N.Un argument deaest . 3 b)O appartient à la médiatrice de[AB]. c)OAB est un triangle rectangle en O. d)Le cercle circonscrit à OAB a pour rayon3. Exercice n°3 G G Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal directO;u,v), on considère les pointsAetBd'affixes respectives 1 et 2i. On désigne par: (E) l'ensemble des pointsMd'affixesztelles que |z– 2i| = |z– 1|; ⎛z−2i⎞ π (F) l'ensemble des pointsM, distincts deA etB, d'affixesz telles quearg=⎜ ⎟ 2 + kπ, ⎝z−1⎠2
a)b)c)
d)
aveck∈Z.
(E)est un cercle. Les points M de(F)décrivent un cercle sauf deux points. −1 1 Le point C d'affixe+iappartient à(E)et à(F). 2 2 z−2i (F)est aussi l'ensemble des points M tels que le complexe Z=soit un nombre imaginaire pur. z−1
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Sélection FESIC 2007 Exercice n°4 On donne les deux courbesCetΓcidessous.
Epreuve de Mathématiques.
L'une de ces courbes représente une fonctionfet continue sur [0; + définie ∞[; l'autre représente une primitiveFdefsur [0; +∞[. On admettra queΓ possède l'axe des abscisses pour tangente en O(0, 0) et queC possède l'axe des ordonnées pour tangente en ce même point. a)Γest la courbe qui représente f. x + b)Pour tout x∈R,F(x) =f(t)⋅dt. ∫0 c)L'aire de la surface hachurée est la même que celle de la surface grisée. d)F est deux fois dérivable en0et F"(0) = 0.
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2007 Exercice n°5 G G Le plan est muni d'un repère orthogonal(O;i,j). On considère quatre fonctionsf,g,h etksur définies R. On appelle respectivementC1,C2,C3 etC4 les quatre courbes représentant chacune de ces fonctions.
a)
b)
c)
d)
⎛ π ⎞ Quel que soit x∈R,g⎜x− ⎟=f(x). ⎝2⎠ Quel que soit x∈R,h(x) = |k(x)|.
Quel que soit x∈R,f(x) –g(x) +h(x) –k(x) = 0. ⎛x⎞ C4représente la fonction qui, à x∈R,associesin⎜ ⎟. ⎝2⎠
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2007 Exercice n°6 a)Soitfla fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) =x x. On cherche à savoir sifest dérivable en 0 ou non. On tient pour cela le raisonnement suivant: «fest le produit de la fonctionx→xavec la fonctionx→x. Ces deux fonctions sont définies et continues sur [0; +∞[, mais la fonctionx→xpas dérivable en 0. Il s'ensuit que n'est fn'est pas dérivable en 0 en tant que produit de deux fonctions dont l'une n'est pas dérivable en 0.» Ce raisonnement est exact. 1⎛2⎞ b)On considère la suite (un) définie par:u0 = 1 et pour toutn∈N,un+1 =⎜u+⎟. On admet que n 2u ⎝n⎠ cette suite est correctement définie (c'estàdire que quel que soitn∈N,un≠et qu'elle est 0) convergente. On appellella limite deunlorsquentend vers +∞. On cherche à savoir silest un nombre rationnel ou non. On tient pour cela le raisonnement suivant: «Soit P la phrase "unest un nombre rationnel". Initialisation:u0= 1 est un nombre rationnel, donc P(0) est vraie. Hérédité: Soitp∈Ntel que P(p) soit vraie. Montrons que P(p+ 1) est vraie. 2 D'après l'hypothèse de récurrence,up, doncest un nombre rationnel. Il en est donc de même de u p ⎛ ⎞ 21 2 galement deu aussi deup+ et ép+car la somme et le produit de deux rationnels est un ⎜ ⎟ u2u ⎝ ⎠ pp rationnel. Il s'ensuit queup+1est un rationnel. Donc P(p+ 1) est vraie. Conclusion: De ces deux assertions et d'après le théorème de raisonnement par récurrence, je déduis que quel que soitn∈N, P(n) est vraie. lest alors la limite d'une suite de nombres rationnels, donclest luimême un nombre rationnel.» Ce raisonnement est exact. c)L'espace est rapporté à un repère orthonormal(O;i,j,k). On considère les pointsA(1; 0; –1),B(4; 3; 0) etC(7; –1; 1). On veut prouver queA,BetCdéterminent un plan. On tient pour cela le raisonnement suivant: «On aAB(3; 3; 1) etAC(6; –1; 2). Il s'ensuit:AB19 , = AC =41 etAB⋅AC= 17. Comme AB×AC≠|AB⋅AC|, c'est que les pointsA,BetCne sont pas alignés et donc qu'ils déterminent un plan.» Ce raisonnement est exact. d)Soitfla fonction définie surRparf(x) = E(sinx) (E désigne la fonction "partie entière"). On cherche la limite éventuelle def (x) lorsquex tend vers 0. On tient pour cela le raisonnement suivant: «fdéfinie dans un voisinage de 0. On utilise le changement de variable est Xsin = x: on sait que limsinx=0 , donc limX=Par suite, et d'après le théorème de composition des limites, on en0 . x→0x→0 déduit quelimf(x)=limE(X)=0 .» x→0X→0 Ce raisonnement est exact.
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2007 Exercice n°7 xln(1+x)−2 lnx a)lim=1 . 2 x→0 x x>0 lnx b)lim=0 . x x→ +∞ e 2x x c)L'inéquation e+ 3e+ 2≤0n'a pas de solution réelle. –x2 d)La fonction f définie surRparf(x) =eln(1 +x)possède le tableau de variation suivant: x–∞+ 0 ∞f'(x) – 0 + +∞ +∞f 0 Exercice n°8 3x On considère l'équation différentielle [E]:y' – 3y=e. –3x Soientfla solution de [E] définie surRtelle quef(0) = 1 etgla fonction définie surRparg(x) =f(x)e. a)On a f'(0) = 4. b)Quel que soit x∈R,g'(x) = 1.
3x c)Quel que soit x∈R,f(x) =xe. 3x 3f(x)−e−2 x d)Quel que soitx∈R,f(t)⋅dt= . ∫0 9 Exercice n°9 e lnx On définit la suite (In) pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 parIn=⋅dx. ∫1 n x 1 a)I1= . 2 b)La suite(In)est croissante.1⎛1⎞ c)Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à2,⎜1−. on a0≤In≤n−⎟ 1 n−1⎝e⎠ d)Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, une intégration par parties surIndonne2 1−n (n−1)I=1−ne. n
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2007 Exercice n°10 On considère les trois suitesu,vetw, définies respectivement par: u=0 5 ⎧0⎧v0= ⎪ ⎪ , u v ⎨3un+2vn⎨2+3 , etwn=vn–un. n n u=v= ⎪ ⎪ n+1n+1 ⎩5⎩5 1 a)La suite w est une suite géométrique de raison . 5 b)La suite u est croissante. c)Les suites u et v sont convergentes. d)Quel que soit n∈N,un+1∈[un;vn]. Exercice n°11 On considère les suitesuetvdéfinies par: ⎧3 u= 0 ⎪ 2u−2 n etvn= . ⎨ −2u−1 ⎪ n u= n+1 ⎪u−3 ⎩n a)Quel que soit n∈N,on a: 1 <un< 2. b)La suite u est convergente. c)v est une suite géométrique de raison2et de premier terme v0= –1. 1 d)Pour tout n∈N,on a:un= 1+. n 1+2 Exercice n°12 Soitn∈N,n≥2. n–1 On considère la fonctionfndéfinie sur ]0; +∞[ parfn(x) =xlnx. On appelleraCnla courbe représentant la fonctionfndans un repère du plan. a)Quel que soit n∈N,n≥2,les courbesCnpossèdent l'axe des ordonnées pour asymptote. b)Soit x∈]0; 1[.On a limf(x)= −∞. n n→ +∞ c)Quel que soit n∈N,n≥3,les courbesCnpossèdent une tangente commune au point d'abscisse1. n n 1−x ( )= ∑ d)Soient x∈]1; +∞[et n∈N,n≥2.On afkx×lnx. − k=21x
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2007 Exercice n°13 Soitnun entier supérieur ou égal à 2. On considère deux urnesU1etU2contenant chacunenboules blanches etnboules noires. On jette un dé cubique équilibré dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. Si le résultat est pair, on prélève au hasard, successivement avec remise intermédiaire, deux boules deU1. Si le résultat est impair, on prélève au hasard, successivement sans remise intermédiaire, deux boules de U2. On appelleNl'événement: «obtenir deux boules noires». On désigne par: p(N) la probabilité de l'événementN, p(Nprobabilité d'obtenir l'événe) la U1mentNsachant que les deux boules tirées viennent deU1, énementNsachant que les deux b pU(Noules tirées viennent deprobabilité d'obtenir l'év ) la U2. 2 1 a)La probabilité d'obtenir deux boules noires deU1est . 8 b)Pour tout entier n, n≥2, on ap(N) =p(N) . U U 1 2 c)limp(N)=limp(N) . U U 1 2 n→ +∞n→ +∞ 4n−3 d)Pour tout entier n, n≥2, on a p(N) = . 8(2n−1) Exercice n°14 Une usine fabrique des détecteurs de fumée. Ces détecteurs disposent chacun d'une durée de vie aléatoire (en mois), représentée par une variable aléatoire T. + Cette variable suit une loi de probabilité exponentielle de paramètreλ, oùλ∈R*, dont la loi de densité est la fonctionfλdéfinie par: –λt fλ(t) = 0 pourt≤0 etfλ(t) =λepourt> 0. Les tests indiquent qu'un détecteur donné a 1 chance sur 2 de tomber en panne à la fin de son premier mois de bon fonctionnement. En cas de panne, le détecteur défaillant est immédiatement remplacé par un détecteur neuf. Un contrôle est effectué chaque mois après l'installation du premier détecteur. On admet que le fonctionnement des détecteurs est indépendant d'un détecteur à un autre. On désire équiper une petite salle avec l'un de ces détecteurs de fumée. a)λ= ln 2. b)La probabilité de changer au moins une fois le détecteur lors de l'un des deux premiers contrôles est égale à1. c)La probabilité de changer le détecteur une fois et une seule lors de l'un des cinq premiers contrôles 5 est de . 32 d)Pour tout entier n supérieur ou égal à1,la probabilité que le détecteur ne soit pas changé lors des n 1 premiers contrôles est de. n 2
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2007 Exercice n°15 L'espace est rapporté à un repère orthonormalO;i,j,k). On considère les pointsA(–1; 2; 4),B(0; –2; 3),C(7; 1; –1) etD(–2; –2; –13). On appelle (P) le plan médiateur de [AB], c'estàdire le plan contenant les points équidistants deAetBou aussi le plan perpendiculaire à (AB) contenant le milieu de [AB]. On appelle (Q) le plan médiateur de [AC]. a)Le vecteur de coordonnées(8; –1; –5)est normal à(Q). b)Le plan(P)a pour équation x+ 4y+z+ 4 = 0. c)A, B, C et D appartiennent à une même sphère de centreΩ(–1; 2; –5). d)L'ensemble des points Mtels queAM⋅BM=0est la sphère de diamètre[AB].Exercice n°16 L'espace est rapporté à un repère orthonormalO;i,j,k). On considère les ensembles (P), (Q) et (R) d'équations respectives: (P):x+y= 0; (Q): 2x–y–z(R):– 1 = 0; z= 1. a)(P)est une droite. b)L'ensemble des points appartenant à la fois à(P)et à(R)est une droite. c)(P)et(Q)sont perpendiculaires. ⎛2−2⎞ d)(P), (Q)et(R)se coupent au point A⎜; ;1⎟. ⎝3 3⎠
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