Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome
5
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
5
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
Voir
ECRICOME 2007 voie T
1. EXERCICE. On considère la fonctionfdéterminée sur]0;+1[par : x1 + lnx f(x) =x+ 1 + 2 x On se propose dans cet exercice détudier la fonctionfet de la représenter rela-!! tivement à un repère orthonormal(; jO; i), lunité choisie étant le cm.
1.1. Etude dune fonction g auxiliaire. Soitgla fonction dénie sur]0;+1[par : +3 8x2Rg(x) =xx+ 32 lnx 3 1. SoitPla fonction polynôme déterminéeP(x) = 3xx2. 1. ProuverquePest factorisable parx1. 2. EcrireP(x)sous la forme dun produit dex1par un polynômeQ(x) que lon déterminera. 3. Détermineralors le signe deP(x)surR. 0 2. Vérierque la fonction dérivéegpeut sécrire : P(x) + 0 8x2Rg(x) = x 3. Endéduire les variations degsur son domaine détude.
4. Montrerque :
+ 8x2Rg(x)>0
1.2. Etude de la fonctionf. 1. Déterminerla limite def(x)lorsquextend vers0par valeurs positives. Que peut-on en déduire pour la représentation graphique def, notéeCf? 1. Déterminerla limite def(x)lorsque quextend vers+1. 2. Montrerque la droite()déquationy=x+ 1est asymptote àCfau voisinage de+1. 3. Montrerque sur[1;+1[, la courbeCfest au-dessus de la droite(). 2. Ondonne le tableau de valeurs suivant : x0;5 3 f(x)3;3 4;3 0 1. Vérierque la fonction dérivéefpeut sécrire : g(x) + 0 8x2Rf(x) = 3 x 2. Endéduire les variations def. 3. Donnerlallure deCfet tracer la droite(): 4. Hachurerla partie du plan comprise entreCf,()et les deux droites déquationx= 1etx=e. 5. Ecrire,à laide dune intégrale, la valeur de laire de la partie hachurée du plan. 6. A laide dune intégration par parties, déterminer la valeur de cette intégrale.
2. EXERCICE. On se propose de déterminer la suite de réels(un)n2Nvériant la relation de récurrence : Pour tout entier natureln:un+2= 5un+16un avecu0= 1etu1= 1 A cet e¤et on dénit la matriceApar : 56 A= 1 0
2
eme 2.1. Calcul de la puissancendeA: On considère les matrices à coe¢ cients réelsBetCdénies par : 36 26 B=; C= 12 13 1. CalculerBCetCB. 2. Montrer,par récurrence, que pour tout entier naturelnnon nul : n nn1 B=B,C= (1)C 3. Vérierque lon a : 2 A= 5A6I oùIest la matrice carrée unité dordre2. 1 4. Etablirque la matriceAest-inversible et exprimerAen fonction deAet I. 5. Montrer,par récurrence, que pour tout entier natureln: n nn A= 3B2C La relation précédente est-elle encore vraie pourn=1. Cest-à-direa-t-on : 1 1 1 A=BC? 3 2 6. Montrerque pour tout entier natureln: n1 1 1 A=BC n n 3 2 2.2. Expression deunen fonction den. 1. Vérierque pour tout entier natureln: u u n+2n+1 =A un+1un 2. Montrerpar récurrence que pour tout entier natureln: un+1n1 =A un1 3. Donnerainsi lexpression deunen fonction den.
3
3. EXERCICE. Soucieux de mieux connaître sa clientèle, un gérant de magasin a réalisé une étude :
3.1. Etude du temps moyen dattente en caisse. Après enquête, on estime que le temps dattente en caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoireTdont une densité de probabilité est donnée par la fonctionfdénie par : 8 2 < f(x) =six>0 3 (x+ 1) : f(x) = 0six <0 On suppose que les temps dattente successifs dune même personne lors des dif-férents passages en caisse sont indépendants. 1. Vérierquefest bien une densité de probabilité.
2. OnnoteFTla fonction de répartition de la variableTque :. Démontrer 8 1 < FT(x) = 1six>0 2 (x+ 1) : FT(x) = 0six <0
3. Vérierque la probabilité que le temps dattente en caisse soit supérieur à 1 quatre unités (de temps) est égale à. 25 4. Quelleest la probabilité que le temps dattente en caisse soit inférieur à cinq unités sachant quil est supérieur à quatre unités ? 5. Pendant125jours une même personne se présente à la caisse. On noteXla variable aléatoire représentant le nombre de fois où cette personne attend plus de quatre unités à la caisse.
1. Déterminerla loi deX. 2. Donnerla valeur de lespérance et de la variance deX.
4
6. Plusimpatient, un autre client décide de passer à la concurrence le jour où il attend plus de quatre unités à la caisse. On noteYla variable aléatoire qui comptabilise le nombre de fois où ce client sest présenté à la caisse de ce magasin avant de passer à la concurrence, si cet événement se produit.
1. Déterminerla loi deY. 2. Donnerla valeur de lespérance et de la variance deY.
3.2. Mode de paiement de la clientèle.
Létude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis détablir les probabilités suivantes :
P[S= 0\U= 0] = 0:4 P[S= 0\U= 1] = 0:3 P[S= 1\U= 0] = 0:2 P[S= 1\U= 1] = 0:1
oùSreprésente la variable aléatoire prenant la valeur0si le montant des achats est inférieur ou égal à50euros, prenant la valeur1sinon, etUla variable aléatoire prenant la valeur0si la somme est réglée par carte bancaire, prenant la valeur1 sinon.
1. Déterminerles lois deSetU. 2. Calculer la covariance du couple(S; U). LesvariablesSetUsont-elles indé-pendantes ? 3. Quelleest la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
5
