Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome
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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
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1. EXERCICE. 1. A laide de développements limités usuels que lon rappellera clairement, montrer que lorsquexest au voisinage de0on a x2 2 ln (2e) =xx+o(x):
1. Montrerque pour tout entierksupérieur ou égal à2, on a :
1=k 2e2]0;1[: 1=k 2. Endéduire le signe deln (2e), pour tout entierksupérieur ou égal à2. 1=k 3. Quelleest la nature de la série de terme généralln (2e)? 4. Pournentier supérieur ou égal à2, on pose n X 1=k Vn= ln(2e)etun= expVn: k=2 Déterminer limVnetlimun: n!+1n!+1 1. Montrerque n X 1 1=k ln (nunln (2) =e)ln (1): k k=2 1=k 2. Déterminerun équivalent, quandktend vers+1, deln (2e) 1 ln (1): k K 3. Endéduire queunest équivalent, quandntend vers+1, àavec n K >0. Quelle est la nature de la série de terme généralun? 2. Onpose n X k Sn= (1)uk: k=2
1. Etudierle sens de variations de la suite(un)n>2. 2. Montrer que les suites(S2n)n>1et(S2n+1)n>1sont deux suites adja-centes. n 3. Endéduire la nature de la série de terme général(1)un.
2. EXERCICE. Mn(R)désigne lensemble des matrices carrées dordren>2, à coe¢ cients réels. Pour tout élémentA= (aij)16i;j6ndeMn(R), on appelle trace deA, et on note T r(A), la somme des éléments diagonaux, cest-à-dire : n X T r(A) =aii: i=1
On admet queT rest une application linéaire deMn(R)dansRtelle que
8A2 Mn(R);8B2 Mn(R);
T r(AB) =T r(BA):
t On noteAla transposée de la matriceA. 1. Soit'lapplication dénie surMn(R) Mn(R)par : t tt 8A2 Mn(R);8B2 Mn(R); '(A; B) =T r(AB) (oùAB=AB): Exprimer'(A; B)en fonction des coe¢ cients deAetBet montrer que' est un produit scalaire surMn(R). On noteNla norme associée à ce produit scalaire. 2. SoientA; B2 Mn(R)but de cette question est de prouver que. Le
N(AB)6N(A)N(B): 1. Justierlexistence deP2 Mn(R)etD2 Mn(R)telles que t t P(AA)P=D oùPest une matrice orthogonale etDune matrice diagonale. On notera par la suiteile coe¢cientdiide la matriceD= (dij)16i;j6n.
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t 2. Soitune valeur propre deAAetXun vecteur propre associé. t t En calculantX AAXde deux manières di¤érentes, montrer que>0. t t 3. OnposeS=P(B B)P= (sij)16i;j6nque. Montrer
2 [N(A)] =T r(D);
2 [N(B)] =T r(S);
2 [N(AB)] =T r(SD):
4. Montrerque n X T r(SD) =isii: i=1 eme 5. OnnoteEileivecteur de la base canonique deMn;1(R), espace des matrices àncients réels.Montrer quelignes et une colonne, à coe¢ t t2 EiSEi=jjBP Eijj; oùjj:jjdésigne la norme euclidienne canonique deMn;1(R), puis cal-t culerEiSEien fonction des coe¢ cients deS. Quen déduit-on, pourientier compris entre 1 etn, sur le signe desii ? 6. Montrerque ! ! n nn X XX isii6isii i=1i=1i=1 puis conclure que N(AB)6N(A)N(B):
3. PROBLEME. Le préliminaire, les parties I et II sont indépendants.
3.1. Préliminaire
On considère deux variables aléatoires à densitéXetYdénies sur un même espace probabilisé, admettant des espérancesE(X); E(Y)et des variancesV(X); V(Y). On supposeV(X)>0dénit la covariance de. OnXetYpar
Cov(X; Y) =E[(XE(X))(YE(Y))] =E(XY)E(X)E(Y):
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1. Montrerque pour tout nombre réel,
2 V(X+Y) = V(X) + 2Cov(X; Y) +V(Y):
1. Enétudiant le signe du trinôme précédent, montrer que
2 (Cov(X; Y))6V(X)V(Y):
2. Aquelle condition nécessaire et su¢ sante a-t-on légalité
2 (Cov(X; Y)) =V(X)V(Y) ?
3.2. Partie I : Etude dune fonction de deux variables ndésigne un entier non nul,AetSdeux réels positifs ou nuls vériantS > nA. On dénit sur[0;+1[]0;+1[la fonctionLnpar : 8 1 (na+S) >1 < b Ln(a; b) =esi06a6A n b > : Ln(a; b) = 0sia > A
1 1. JustierqueLnest de classeCsur louvert]0; A[]0;+1[. Montrer queLnnadmet pas dextremum sur cet ouvert.
2. Montrerque
8a2[0; A[;8b2]0;+1[; Ln(a; b)< Ln(A; b):
Montrer que ce résultat est encore vrai pour toutade]A;+1[.
3. Soitgla fonction dénie sur]0;+1[parg(b) =Ln(A; b). Montrer quegadmet un maximum absolu sur]0;+1[, atteint en un point b0que lon exprimera en fonction deA; S; n.
4. Déduirede ce qui précède queLnadmet sur[0;+1[]0;+1[un maximum absolu atteint en un unique point(a0; b0)que lon précisera.
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3.3. Partie II : Etude dune loi Soita>0etb >0considère la fonction. Onfa;bdénie surRpar : 8 (xa) >1 < fa;b(x) =e bsix>a b > : fa;b(x) = 0sinon
1. Vérierquefa;bOn noteest bien une densité de variable aléatoire.E(a; b) la loi associée.
On considère désormais une variable aléatoireXde loiE(a; b).
2. Déterminerla fonction de répartition deX.
3. OnposeY=Xa. Déterminerla loi deYet la reconnaître. En déduireE(X)etV(X).
p 4. Soitp2N. MontrerqueXadmet un moment dordrep,E(X), et pour p p1 p >0déterminer une relation liantE(X)etE(X).
5.Simulation de la loiE(a; b):
1. SoitUune variable aléatoire de loi uniforme sur[0;1[. Montrer que la variable aléatoirebln (1U) +asuit une loiE(a; b). 2. Onrappelle quen langage Pascal, la fonctionrandompermet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur[0;1[. Ecrire, en langage Pascal, une fonctiontirage, de paramètresaetb simulant une variable aléatoire de loiE(a; b).
3.4. Partie III : Estimation des paramètresaetb aetbdésignent toujours deux réels tels quea>0etb >0. Onconsidère désormais une suite de variables aléatoires(Xi)i>1indépendantes identiquement distribuées de loiE(a; b). Pournentier supérieur ou égal à2, on considère les variables aléatoiresSnetYn
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dénies parSn=X1+X2+ +XnetYn= min(X1; X2; : : : ; Xn).
Le but de cette partie est de déterminer des estimateurs deaetb.
1. Lafonctiontirage, ainsi que les variables informatiquesa,b,X,S,Yde type realeti,nde typeintegerétant supposées dénies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce quil simuleSnetYn(les valeurs étant stockées respectivement dansSetY). begin randomize ; readln(a,b,n) ; X:=tirage(a,b) ; S:=... ; Y:=...; for i:= 2 to n do... : : : : : : : : : : : : : : : : : : ... end.
2. Déterminerlespérance et la variance deSn. 3. Quelleest la loi suivie par la variable aléatoire(X1a) + (X2a) + + (Xna)? En déduire une densité deSn. 4. Déterminerla fonction de répartition deYn. En déduire queYnsuit une loiE(an; bn)(on préciseraanetbn). Donner les valeurs deE(Yn)etV(Yn). 1. Calculerle biais ainsi que le risque quadratique deYnen tant questimateur dea. 2. Rappelerlinégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment dordre 2. A laide de ce qui précède, prouver que(Yn)est une suite destimateurs deaasymptotiquement sans biais, convergente.
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S n 5. OnposeZn=Yn. n 1. Calculerle biais deZnen tant questimateur deb. 2. OnnoterZn(b)le risque quadratique deZnque. Montrer 2 2 2b b2 rZ(b) =+Cov(Sn; Yn): n 2 n nn 3. Alaide du préliminaire montrer que limrZ(b) = 0 n n!+1 et en déduire que(Zn)est une suite destimateurs debasymptotique-ment sans biais, convergente.
6. Pourun échantillon donné(x1; : : : ; xn), avecminfx1; : : : ; xng 6= maxfx1; : : : ; xng, correspondant à une réalisation desnvariables aléatoiresX1; : : : ; Xn, on dénit la fonctionLsur[0;+1[]0;+1[par
n Y L(a; b) =fa;b(xi): i=1
1. Montrer queLest la fonctionLndénie dans la partie I, pour des valeurs deAetSque lon précisera en fonction desxi. 2. Comparerles estimations deaetbobtenues sur léchantillon(x1; : : : ; xn) à partir deYnetZnavec les valeursa0etb0obtenues dans la partie I.
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