Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome
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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
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ECRICOME 2007 voie E
1. EXERCICE. SoitaOn considère la fonctionun réel strictement positif.fadénie pour tout réeltstrictement positif par : 2 1a fa(t) =(t+ ) 2t ainsi que la suite(un)nNde nombre réels déterminée par son premier termeu0>0 et par la relation de récurrence : 8n2Nu=f(u) n+1a n
1.1. Etude des variations de la fonctionfa. 1. Déterminerla limite defa(t)lorsquettend vers+1lexistence. Justier dune asymptote oblique au voisinage de+1et donner la position de la courbe représentative defapar rapport à cette asymptote. 2. Déterminer la limite defa(t)lorsquettend vers0par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite. + 3. Donnerlexpression de la fonction dérivée defasurRet dresser le tableau de variation defa. 4. Endéduire que : 8t >0fa(t)>a
1.2. Etude de la convergence de la suite(un)nN.. 1. Quedire de la suite(un)nNdans le cas particulier oùu0=a? 2. Dansla suite on revient au cas généralu0>0. Démontrer que : 1 0 8t > a0< f(t)< a 2 3. Montrerque pour tout entiern, non nul : u>a n
4. Prouveralors que pour tout entiernnon nul : 1 06un+1a6(una) 2 Puis que : n1 1 junaj6ju1aj 2 5. Endéduire la convergence de la suite(un)et indiquer sa limite. 6. Enutilisant ce qui précède, écrire un programme en langage Pascal perme-ttant da¢ cher les100premiers termes dune suite(un), de premier terme p 1, convergeant vers2.
1.3. Recherche dextremum dune fonction à deux variables. On considère, surRR, la fonctiongdénie par : + + 1 11 g(x; y( + )(1+) =x)(1 +y) 2x y 1. Calculerles dérivées partielles dordre1et2degsurRR: + + 2. Montrerquegadmet un extremum local surRRdont on précisera la + + nature. 3. Vérierque : x g(x; y) = 1 +f1(x) +f1(y) +f1( ) y 4. Endéduire que lextremum local est un extremum global degsurRR. + +
2. EXERCICE. M2(R)désigne lespace vectoriel des matrices carrées dordre2à coe¢cients réels. La matriceAsuivante étant donnée 31 A= 62 on dénit lapplicationpar : A :M2(R)!M2(R) A M7!(M) =AMM A A
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2.1. Diagonalisation de A. 2 1. VérierqueA=A:En déduire les valeurs propres possibles deA. 2. Prouverque la matriceAest diagonalisable et déterminer une matriceP inversible deM2(R)et une matrice diagonaleDdeM2(R)dont la première colonne est nulle vériant la relation : 1 A=P DP 1 Donner lécriture matricielle deP :
2.2. Diagonalisation de : A 1. Montrerqu eAest un endomorphisme deM2(R). 3 2. Etablir queXXest un polynôme annulateur de. Endéduire les A valeurs propres possibles de. A 3. Montrerque la matriceMest un vecteur propre deassociée à la valeur A 1 propresi et seulement si la matriceN=PP Mest non nulle et vérie léquation matricielle : DNN D=N a b 4. OnposeN=: c d
1. Trouverlensemble des matricesNtelles queDNN D= 0. 2 1 2. Endéduire que la famille(A,M1)avecM1=est une base 6 3 du sous-espace propreKerassocié à la valeur propre0. A 3. Déterminerles deux autres valeurs propres non nulles1et2deA et caractériser les matricesNassociées. associé 4. Endéduire une base de chaque sous-espace propreE1etE1 aux valeurs propres1et2:
5. Lendomorphismeest-il diagonalisable ? A
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3. EXERCICE. Soucieux daméliorer le ux de sa clientèle lors du passage en caisse, un gérant de magasin a réalisé les observations suivantes :
3.1. Mode de paiement de la clientèle. 1. Létudedu mode de paiement en fonction du montant des achats a permis détablir les probabilités suivantes :
P[S= 0\U= 0] = 0:4 P[S= 0\U= 1] = 0:3 P[S= 1\U= 0] = 0:2 P[S= 1\U= 1] = 0:1
oùSreprésente la variable aléatoire prenant la valeur0si le montant des achats est inférieur ou égal à50euros, prenant la valeur1sinon, etU la variable aléatoire prenant la valeur0si la somme est réglée par carte bancaire, prenant la valeur1sinon.
1. Déterminerles lois deSetUet vérier que la probabilité que le client 3 règle par carte bancaire est égale àp=. 5 2. Calculerla covariance du couple(S; U). LesvariablesSetUsont-elles indé-pendantes ? 3. Quelleest la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à50euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
2. Onsuppose que les modes de règlement sont indépendants entre les indi-vidus. Une caissière reçoitnclients dans sa journée(n>2). On dénit trois variables aléatoiresCn; L1; L2par : -Cncomptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire. ereme -L1(resp.L2)est égale au rang du1(resp.du2) client utilisant la carte bancaire comme moyen de paiement, sil y en a au moins un (resp.au moins deux) et à zéro sinon.
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1. Reconnaître la loi deCn, rappeler la valeur de lespérance et de la variance de cette variable aléatoire. 2. Déterminerla loi deL1et vérier que : n X P[L1=k] = 1 k=0 3. Déterminerla loi deL2.
3.2. Etude du temps moyen de passage en caisse. Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoireTdont une densité de probabilité est donnée par la fonctionfdénie par : x f(x) =xesix>0 f(x) = 0six <0 1. Rappelerla dénition dune densité de probabilité dune variable aléatoire Xsuivant une loi exponentielle de paramètre= 1la valeur de. Donner lespérance et de la variance deX. 2. Utiliserla question précédente pour vérier quefest bien une densité de probabilité, puis montrer queTadmet une espérance que lon déterminera. Quel est le temps moyen de passage en caisse ? 1. Démontrerque la fonction de répartition deT, notéeFTest dénie par : 8x <0FT(x) = 0 x 8x>0FT(x) = 1(x+ 1)e 2. Montrerque la probabilité que le temps de passage en caisse soit in-férieur à deux unités(de temps) sachant quil est supérieur à une unité 2e3 est égale à: 2e 3. Un jour donné, trois clientsA; B; Cse présentent simultanément devant deux caisses libres.Par courtoisie,Cdécide de laisser passerAetBet de prendre la place du premier dentre eux qui aura terminé.On suppose que les variablesTAetTBcorrespondant au temps de passage en caisse deAet Bsont indépendantes.
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1.Mdésignant le temps dattente du clientCexprimerMen fonction de TetT. A B 2. Montrerque la fonction de répartition de la variable aléatoireMest donnée par : + 22t 8t2RP[M6t] = 1(1 +t)e 8t2RP[M6t] = 0
3. ProuverqueMest une variable à densité et expliciter une densité de M.
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