Mathematiques 2005 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)
4
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Français
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2008
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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathematiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathematiques 2005 sur Bankexam.fr.
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Mathématiques
Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants . La calculatrice personnelle est interdite. Problème 1 On considère l'équation différentielle sur: (E)➀Déterminer toutes les solutions réelles de l'équation différentielle
➁l intervalle Sur
oneffectue dans (E) le changement de fonction
devient cette équation après ce changement?
. Que
➂se propose de montrer que (E) admet une unique solution développable en série entière On autour de l'origine, notée, et de déterminer cette série entière. On pose
a)Déterminer et
b)Pour donnerune relation de récurence entreet .[ On pensera à factoriser ] c)En déduireen fonction den. ➃Déterminer le rayon de convergence de la série entière qui a pour somme.
➄à l'aide de fonctions "classiques". [ Indication: on déterminera dabord Exprimer lexpression de]
➅Déduire de ce qui précède lensemble des solutions de (E)
⑦Déterminer les solutions de (E) admettant une limite à droite en 0.
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, déduire de G la valeur de
etdéterminer ce développement. [Indication: On à laide de]
hest maintenant un réel de l'intervalle
, déduire de A la valeur
➁Calculer .En déduire la valeur de
Partie 2
, la fonctiongest paire, de période
➂Que vaut(justifier ce résultat). En déduire la valeurde
➃En prenant
➄Trouver, grâce à la formule de Parseval, la valeur
➅En prenant
et déterminer ce développement.
➀Déterminer la série de Fourier defet montrer quelle converge. On note :
, déduire de D la valeur
➂En prenant
exprimera
à laide de.
, puis la valeur de
➀Déterminer la série de Fourier deget montrer quelle converge. On note :
Problème 2 Partie 1 Soithun réel fixé, élément de l'intervalleet la fonctionfpaire et de périodevérifiant :
➁Trouver, grâce à la formule de Parseval, la valeur de
vérifiant :
, et puis la valeur
Problème 3 désigne lensemble des matrices carrées de dimensionnà coefficients complexes. On dit quune matriceKest une matrice scalaire sil existe un nombre complexektel que où estla matrice de lidentité de On dit quune matriceAest une matrice scalaire.a la propriété de Dirac si On note tr(M) la trace de la matriceM, c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. On note det(M) le déterminant de la matriceM. Partie 1 Dans cette partie, on considère les matrices de 1°) Montrer que. 2°) Montrer que si la matriceAa sa trace nulle alors la matriceApossède la propriété de Dirac. 3°) Montrer quune matriceAqui a la propriété de Dirac est une matrice dont la trace est nulle ou une matrice scalaire. 4°) Montrer que lensemble des matrices dedont la trace est nulle, ensemble noté, est un sous espace vectoriel deDonner la dimension de. .
5°) Soient les matrices :
a)Montrer que (J,K,L) est une base de, b)Si .Calculer enfonction dex,y,zet . Partie 2 Dans cette partie on considère les matrices de 1°) Montrer que siAest une matrice qui vérifie la propriété de Dirac avecnon nulle alors a)Aest inversible. b)vérifie aussi la propriété de Dirac c)Ana au plus que deux valeurs propres. 2°) Montrer que siA,BetA+Bvérifient la propriété de Dirac alors la matriceAB+BAest scalaire.
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Partie 3 Dans cette partie on considère les matrices deet plus particulièrement les matrices:
et 1°) Calculer. Montrer que 2°) On considère le sous espace vectorieldes matrices de la forme. Montrer que toutes les matrices deont la propriété de Dirac.En déduire. 3°) Démontrer que sialors nécessairementest une valeur propre dene peut prendre que deux valeurs réelles que lon déterminera4°) a) Déterminer tous les sous espaces propres de la matrice. b)Donner une matriceinversible et une matriceDdiagonale telles que.
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