Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon
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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.
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EML 2004, math 1, option scientifique
PROBLEME 1
Z +∞ sint Partie I :Etude de la fonctionx−→7xdt t+x 0 On noteF:]0; +∞[−→RetG:]0; +∞[−→R,sopruotdse´nfieiutr´eelppaselnoitacilx∈]0; +∞[ par : Z Z x x sinucosu F(x) =duetG(xd) =u u u 1 1 Z x cosxcosu 1)a)rep,nortM´eeloutrourtx∈]0; +∞[ :F(x) =−+ cos 1−du. 2 x u 1 Ende´duirequeFadmet une limite finie en +∞. On noteαcette limite. b)uqrertnoeanre`eni,mueogaleDamGadmet une limite finie en +∞. On noteβcette limite. Z Z +∞+∞ sinucosu c)uttoeer´e,quurpode´deriulnEx∈]0; +∞´egrales,[elistnduet du u u x x Z Z +∞+∞ sinucosu convergent, et que :du=α−F(xd) etu=β−G(x). u u x x 2)a)lMontopruer,r´reeottux∈]0; +∞lee´troutt[eT∈]0; +∞[ : Z ZZ T x+T x+T sintsinucosu dt= cosxdu−sinxdu t+ux u 0x x Z +∞ sint b)e´leunodrtEude´qerip,eutruox∈]0; +∞[degralnt´e,l’itconverge et que : t+x 0 Z ZZ +∞+∞+∞ sintsinucosu dt= cosxdu−sinxdu t+ux u 0x x
On noteA:]0; +∞[7−→Ree´rtuotlepfipd’´aconaltiiurpoe,lnix∈]0; +∞[, par : Z +∞ sint A(xd) =t t+x 0 2 3)Montrer que l’applicationAest de classeCsur ]0;+∞ruottu´reel[etque,pox∈]0; +∞[ : 1 00 A(x) +A(x) = x ´ 0 4)Etablir queA(x) etA(x) tendent vers 0 lorsquextend vers +∞. Z 1 cosu 5)a)Montrer :∀x∈]0; 1],06du6−lnx u x Z +∞ cosu b)irequesinEnd´eduxdutend vers 0 lorsquextend vers 0 par valeurs strictement u x positives. Z Z +∞+∞ sinusinu c)rerqMontdelgearni´teu’lurgveonceuqrilbate´te,eA(x) tend versdu u u 0 0 lorsquextend vers 0 par valeurs strictement positives.
Z +∞ −xt e Partie II :Etude de la fonctionx7→−dt 2 1 +t 0 k−xt 1)ntMorqrep,eutruortuolee´x∈]0; +∞[ et tout entier naturelk, l’applicationt→−7te Z +∞k−xt te estborne´esur[0;+∞´ddetene,[´egr’intqueluireeladtconverge. 2 1 +t 0 On note, pour tout entier naturelk,Bk:]0; +∞[−→Reip,uotroidne´nfiapplicatl’trouel´e Z +∞k−xt te x∈]0,+∞[, par :Bk(x) =dt. 2 1 +t 0 2)a)lisinetuer,roMtnroL-gaargn:elyaTede´tilage´n’ielplemexartpan 2 u u|u| ∀u∈R,|e−1−u|6e 2 b)tourr´utleeEe´dnriudop,ex∈]0; +∞[, pour tout entier naturelkpouretee´rtuotlhtel que x 0<|h|6: 2 Bk(x+h)−Bk(x)|h|x +Bk+1(x)6Bk+2 h2 2 c)Montrer que, pour tout entier naturelk,Bk´etdes+;0]ruselbavir∞[ et que : 0 ∀x∈]0; +∞[, Bk(x) =−Bk+1(x) 2 d)dnEude´qerieuB0est de classeCsur ]0;+∞[teuq,eoprutoutr´eelx∈]0; +∞[ : 1 00 B(x) +B0(x) = 0 x 3)´reeottulntMourpor,rex∈]0; +∞[ : 1 1 0 06B0(x)6et 06−B0(x)6 2 x x 0 etende´duireleslimitesdeB0(x) etB(x) lorsquextend vers +∞. 0 Z√Z 1 +∞ √x 1 1 −x 4)a)Montrer :∀x∈]0; +∞[,e dt6B0(x)6dt. 2 2 1 +t1 +t 0 0 h h π b)´ueJelrep,tsfiiuortuotry∈0; : 2 Z Z ytany 1 du= dt , 2 1 +t 0 0 Z +∞ 1π etend´eduire:dt= . 2 1 +t2 0 c)nd´eduirelalimitedeEB0(x) lorsquextend vers 0 par valeurs strictement positives. Z +∞ sinu PartieIII:Calculdel’int´egraledu u 0 Onconside`rel’applicationϕ:]0; +∞[−→Rfinie,poud´eletruorte´x∈]0; +∞[, par : ϕ(x) =A(x)−B0(x), o`uAnfieidee´alaPadsnrtiet´´eaIetB0nfie´adeialsntraPiet´eda´eII. On noteU:]0; +∞[−→R’lpalpcitaiond´efinie,pourtuorte´lex∈]0; +∞[, par : 2 2 0 U(x) =ϕ(x) +ϕ(x) 1)Montrer queU+est constante sur ]0;∞[. 2)Quelle est la limite deU(x) lorsque x tend vers +∞? 3)d´ueinrde:E∀x∈]0; +∞[, A(x) =B0(x). Z +∞ sinu 4)Quelle est la valeur dedu? u 0
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PROBLEME 2
Danstoutleproble`me,neugnsi´ernientned2a.uoe´ag`lp´erieuraturelsu Mn(Rrracsee´rtamseciblemesedtlesns’e)dred’orllesr´eenetMn,1(R) l’ensemble des matrices colonnesre´ellesa`nlignes. Une matriceMdeMn(R) ou deMn,1(R) est dite positive si et seulement si tous les coefficients deMsont positifs ou nuls. On notera alorsM>0. Une matriceMdeMn(R) ou deMn,1(R) est dite strictement positive si et seulement si tous les coefficients deMsont strictement positifs. On notera alorsM >0. SiMetNsont deux matrices de ou deux matrices deMn(R) ou deMn,1(R) , la notationM>N (respectivementM >N) signifie queM−N>0 (respectivementM−N >0 ). Une matriceMdeMn(Rviseudtcpeordtti)esxuedselefiire´velelsintmeleeutsiensconditio suivantes :Mest positive et il existe une matrice positivePdeMn,1(R) telle queP−>M P0. Partie I :Etude d’exemples 1 01 1 1 1)id´econsnErantUmontrer que la matrice= 1 ,Aest productive.0 1= 1 3 1 11 0 1 4 1 2)Montrer que la matriceB= 2n’est pas productive.1 3 0 0 1 PartieII:Caracte´risationdesmatricespositives SoitMune matrice deMn(R). 1)Montrer que, siMest positive, alors, pour toute matrice positiveXdeMn,1(R), le produit M Xest positif. 2)poceriatemuttourop,is,euqrertnoment,quemiproR´ecsitiveXdeMn,1(R), le produit M Xest positif, alors la matriceMest positive. PartieIII:Caracte´risationdesmatricesproductives 1)SoitAune matrice productive deMn(R) dont le coefficient de lai`-melegineetdelaj-`eme colonneestnote´aij, etPune matrice positive deMn,1(R) telles queP−AP >0. On note p1, . . . , pnles coefficients de la matrice colonneP. a)Montrer queP >0. b)SoitXapa`tanenrtpaMn,1(R) telle queX>AX. On notex1, . . . , xnles coefficients de xj la matrice colonneXsignnd´e.Orapecitreqseu’lneorlsel´esrdetitepsulpeljde´crit pj xk l’ensemble{1, . . . , n}etkun indice tel quec= . pk n X Etablir quec pk−akjpj>nE´d.0qureuiedec>0 et queXest positive. j=1 c)SoitXa`appartenantMn,1(R) telle queX=AX. En remarquant que−X>A(−X), montrer queXlluntseequreuiedd´Ene.In−Abielevsrtsnie,o`uIne´tdiecitneatritlames deMn(R). −1 d)Montrer que, pour toute matrice positiveXdeMn,1(R), la matriceY= (In−A)Xest positive (on pourra utiliserIII.l.b). −1 Ende´duireque(In−A) estpositive. 2)trmaepicitoseivDanscettequestiono,cnnois`dreueenBdeMn(R) telle queIn−Bsoit −1−1 inversible et telle que (In−Bpositive. On note) soitV= (In−B)Uu,o`Uest la 3
