Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon
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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
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E.M.Lyon2002.Premi`ere´epreuve,optionscientifique. PROBLEME 1 On note, pour tout entierp≥1 : Z p+1 1 1 up=−dt p t p et, pour tout entiern≥1 : n X an=up=u1+∙ ∙ ∙+un p=1 ´ Partie I :Etude de la suite(an)n≥1 1 1 1)Montrer, pour tout entierp≥01 :≤up≤ −. p p+ 1 2)(etiusaleuireq´eduEndan)n≥1n,lee´toveonevrgsuer´enrtceentsaisrotcesγ, tel que 0≤γ≤1. PartieII:Expressioninte´graledur´eelγ. x ´ 1)a)rilbatEuotruop,eltr´ex+: 1x≤e . b)e´udEdnopruri,eretuotitnen≥tte1trouel´ettel que 0≤t≤n: tn n t t−t 1 +≤1e et− ≤e n n 2 tntn −t−t puis :1−e≤1− ≤e . 2 n n ´ 2)a)Etablir, pour tout entiern≥utr´eeetlto1x1] :de [0; n (1−x) +nx−1≥0 b)En utilisant1.b.et2.a., montrer, pour tout entiern≥´reel1ettoutttel que 0≤t≤n: 2 tnt −t−t 0≤e−1− ≤e n n 3)a)On note, pour tout entiern≥1 : Z n 1tn −t In= e−1−dt. t n 0 Justifier l’existence deIn. ´ b)Etablir queIntend vers 0 lorsquentend vers l’infini. ´ 4)a)Etablir, pour tout entiern≥1 : n−1Z n X tk 1−dt=n an+ ln(n+ 1) n 0 k=0 On note, pour tout entiern≥1 : Z n 1tn Jn= 1−1−dt. t n 0 Justifier l’existence deJn, et montrer, pour tout entiern≥1 : Jn=an+ ln(n+ 1). Z Z 1−t+∞ −t 1−e e 5)On note :U= dtetV= dt. t t 0 1 a)Justifier l’existence deUet deV. b)De´omtnrer:γ=U−V.
PROBLEME 2
SoitEun espace vectoriel euclidien de dimensionntnel,odti´reeecstanloauitsprodh,i. L’objectifduproble`meestd’e´tudierlesendomorphismesudeEtels que : ∀x∈E,hu(x), xi= 0 Lesendomorphismesv´erifiantcetteproprie´t´esontappele´sendomorphismesantisyme´triques. ´ Partie I :Etude d’un exemple Dans cette partie,Elypoomnˆctonnsioleirfsedvecaotceeeffisctol`’aeesspr´tsencided,sleee´rge 2 inf´erieurou´egal`a2.Onrappelleque(1, X, X) est une base deE. 2 Onconside`rel’applicationϕ:E→(elpuoctuotIdRe´nfieiopruP, Qd)esdntme´eel’´Epar : ϕ(P, Q) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(−1)Q(−1). 1)re´Vrefiiequϕest un produit scalaire. Danscettepremie`repartie,onconsid`erequeEest muni de ce produit scalaire. 2)mephisomorleredne’nocn`disOudeEd´ottuoprufieinPdeEpar : 02 u(P) = 2P(0)X−P(1) +P(−1)X. 0 a)´Vrefiire:∀P∈E,2P(0)−P(1) +P(−1) = 0. b)equnEde´deriuuedelriquacev’espemnahpsi´mteitysnleirotceeidilcuetuesndneoromE. 1 1 2 3)SoientP1= (X+X) etP2=u(P1). 2 2 2 a)efiireuqre´VP1est un vecteur propre deuet que la famille (P1, P2) est orthonormale. b)ebaserunrmin´eteDredeKeu. c)enimenuresabhtrooronlematere´DBdeEonbmer´reelunetaee´icetslquelamatriceasso 0 –a0 a`uiotevitalerce`antmeesasebtta0 0 . 0 0 0 PartieII:Caract´erisationsdesendomorphismesantisym´etriques Soituun endomorphisme deE. 2 1)Pour tout couple (x, y) deEerd,ve´epplohu(x+y), x+yi. Ende´duirequeui:tseniseuqirtmeluestesmearphiym´entisetsodomnune 2 ∀(x, y)∈E ,hu(x), yi=−hx, u(y)i. 2)On suppose dans cette question que la dimensionndeEest non nulle. SoientB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormale deE, etM= (mi,j) lamatrice i≤i,j≤n associe´ea`ument`alarelativeabesB. 2 a)Montrer :∀(i, j)∈ {1, . . . , n}, mi,j=hei, u(ej)i. b)nE´deeruqdeiuuisalamrtcietuneesorphndomemsiitna´mysirteesqutsieleeuntmeM t associ´ee`auemtna`alabesrelativeBrifieve´M=−M. PartieIII:Proprie´te´sge´n´eralesdesendomorphismesantisyme´triques Soitumodnenuemsihprom´sytianenqurietonnuldeE. Onpourrautiliserlacaracte´risationobtenuedanslaquestionII.1. 1)Soitλunnosiuerqtner.loM´reebmerλest valeur propre deu, alorsλ= 0. 2)Montrer que Imuet Kerumentairesdansgonouaexstpulpe´ntsothorE. 2 Ende´duirequeKeru= Ker(u). 2 2 3)Montrer queuhismmorp´etresymeneodtsnuueiqdeEet que toute valeur propre deu estn´egativeounulle.
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2 4)a)Montrer queuadmet au moins une valeur propre non nulle. 2 Soientxun vecteur propre deunnonellute,neaulevaprurreopa´i`esscoFle sous-espace vectoriel deE(regnnerde´apx, u(x)). b)Montrer queFest un plan vectoriel stable paru. ⊥ c)Montrer queForthairealdeogonsepul,emtnlpe´F, est stable paru. ⊥ ⊥ d)On munitFdu produit scalaireh,i1ruottuoc´dfieinopleup(x, y’´)d´eeltnemedsFpar hx, yi1=hx, yi ⊥ ⊥ Onde´finitl’endomorphismeu1deFpar :∀x∈uF ,1(x) =u(x). ⊥ Montrer queu1e´rtqieuedenutsodnerpmosmhinteaymisFet que Imu=F⊕Imu1. 5)Moeuirnemye´tnsieusertqir.Ontpairafapoureuqrertn’dgnarelmodoenuneasmhirp re´currencesurladimensiondeE.
Partie IV : Application Dans cette partie,Eest un espace vectoriel euclidien de dimension 4 etB= (e1, e2, e3, e4) est une base orthonormale deE. Soitul’endomorphisme deEocssalaree,i´itevemtna`alabesB,`alamatrice 0 4 1–1 –1 –1–4 0 A= –1 1 0–5 1 1 5 0 1)Montrer queuitysemnahpsimoronendestueedqurietm´E. 2 V´erifierquelevecteurf1=e1+e2−e3est vecteur propre deu. 2)SoitFle sous-espace vectoriel deErdnegnefalrape´leilamf1, u(f1etmrD.e´nuenire) ⊥ base orthonormale deFet une base orthonormale deF. 3)´ddeiuernubesaoerthonormaleEnB0deE´esrrembnouxdeetsleaetbtels que la matrice 0 –a0 0 a0 0 0 associ´eea`uane`tvimeletarB0soit . 0 0 0–b 0 0b0
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