Mathématiques 2002 Classe Prepa B/L ENSAE
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Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
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´ E.N.S.A.E.2002Math´ematiques(OptionEconomie) AVERTISSEMENT:IIestrappel´e`atouslescandidatsqueleprogrammeofficieldel’e´preuve estleprogrammedeMath´ematiquesdesclassespre´paratoiresauconcoursd’admissiondugroupe ´ Sciencessociales(B/L)delasectiondeslettresdel’Ecolenormalesup´erieur`e,dites“KhagnesS”. Touter´esolutionfaisantappel`adesr´esultatsnefigurantpasexplicitement`aceprogrammesera rejete´e. Lesdeuxprobl`emessontind´ependants.
PROBLEME 1
X 1 1)a)Pour quelles valeurs deq∈Zelt-eserie´sal?eegtnvnreeloc q p p≥1 2 π En cas de convergence, on noteZ(q) sa somme. On admet queZ.(2) = 6 ∗ b)mieretD´siortrenslee´ra, b, ctels que, pour toutp∈N, on ait : 1ca b = ++ 2 2 p(p+ 1)p p+ 1(p+ 1) +∞ X 1 c)lreluclactemeomasesrdeualavdeleegcnvnrealocrieas´etsuJrefiiS. 2 p(p+ 1) p=1 ∞ 2)a)Soitfune fonction de classeCsur un intervalle ouvertIdeRcontenant 0. Prouver par re´currencesurnque : Z n x n p X x(x−t) (p) (n+1) (∀x∈I) (∀n∈N)f(x) =f(0) +f(t) dt(1) p!n! 0 p=0 (p) ou`fe´ir´veed´esigneladp-`imedeef. b)Montrer que, pour toutx≥0, on a : n X p n+1 x x x x e− ≤e (2) p!(n+ 1)! p=0 c)Pourx∈[0,1[, on poseg(x) = ln(1−xeead´eriv´laucellr)C.p-i`emedeg. x−t ´ Soitx∈[0,1[dueilrsexfie´.tEdensfolarivaioatitcnnoθ(t) =sur l’intervalle [0, x] et 1−t ende´duireque: n X p n+1 x x ln(1−x) +≤(3) p1−x p=1 3)SoientpetqdeuxentiertanslerunO.sse´dneigrpaHp,qdne´tcoip,uonfieirlonafx >0, par p q Hp,q(x) =x(lnx) . ´ a)raeglel’det´indutEonacrlieceenrgve Z Z 1 1 p q Ip,q=Hp,q(x) dx=x(lnx) dx 0 0 b)Pour tout entier naturelp, calculerIp,0. c)Pour tout couple d’entiers naturels (p, qmoe,rentuerqinl’leuqllesnocegrevlrsep)uo´tgearel Ip,qest de la forme q! Ip,q=Cq q+1 (p+ 1) ou`Cqel´enrtuenepd´neuqdeadtnseeqi´teec(iloanspurr.qVu´eesreifireaeu’lq,Cq)q∈Nest born´ee.
4)On pose Z +∞ u−t G(u) =te dt 0 a)itnofieined´diaenomedrlnemieretD´Dde la fonctionG(onearte´dsujnefiitnspo.e)llai´ear b)Pourx=n∈N, exprimerG(nalofmreaelg’raaildedeed’unein)t`´Ip,qeetdnadu´eelir valeur deG(n) pourn∈N. 5)a)elesbml’eninertermD´eQdes valeurs deq∈N:eced’lni´tgearelnegrevnocanoselluesqleurpo Z 1q (lnx) Jq= dx 1−x 0 xlnx b)rancfoontiefid´epnitnoMqreraleuϕ(xtreputˆeng´erolo)=epe´ernofenuneeobnoitcn 1−x sur [0,1]. c)Montrer que, pour tousq∈Qetn∈N, on a : nZ X 1n+1q x(lnx) Jq−Ip,q= dx(4) 1−x 0 p=0 d)Pourq∈Qedd´,ce´rpiuqecederiussioxpreunee`ededneJqnofaoitcndelea’di`laZ. En particulier, avec la valeur deZlleuq,)arge´tniet-euepalon2(f)uonrie`alaquestion1) calculer ? ´ 6)a)Soitp∈N.eleigerraliEnttu´dvdeerl’gaecnocne Z 1p x 0 J= dx p 1−lnx 0 b)edelale`guelaceaodlonanumee´hte´irperaded’unesle`al’aiarge´tniettecremrixpne-outPe question 5? −x ´ 7)a)Soitψ´efiniondriepanotclfaψ(x) =xgeernvco’ieledncE.alreiduttne´rglae Z 1 K=ψ(x) dx 0 La fonctionψngloee´enenuncfo-tueellerteˆorpe[0ures´ernboontip,1] ? b)Montrer que, pour toutn∈N, on a nZ p1n+1 X (−1) (−xlnx) K−Ip,p≤ψ(x) dx(5) p!(n+ 1)! 0 p=0 End´eduireque Z+∞ 1 X dx1 = (6) x p x p 0 p=1 8)a)areloMuerqrentegt´inl’ Z 1 L= ln(x) ln(1−x) dx 0 est convergente. b)En utilisant entre autres la question 5.b), montrer qu’il existe une constanteMtelle que, ∗ pour toutn∈N, on ait n X 1M L+Ip,1≤(7) pn+ 1 p=1 End´eduireuneexpressiondeLsalemmocnu’demmoepri´eesalavsluieurdeL.
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PROBLEME 2
One´tudiedansceprobl`emequelquesaspects´el´ementairesdelage´ne´tiquelie´sauxprobabilit´es. Danstoutleprobl`eme,onconside`reunepopulationr´epartieentremalesetfemelles,portant chacundeschromosomescontenanteux-meˆmesdesge`nes.Leschromosomes,etdonclesg`enes, vont par paires. Ons’int´eresse`aunepairedege`nesparticulierspouvantpr´esenterchacunseulementdeux caracte`res,quel’onnoteraAeta. L’ordre n’intervenant pas, il y a donc trois paires de´enogepyts possibles,d´esign´eespar
AA, Aa(ouaA), aa Onsupposelessexesmaleetfemellee´quire´partisdanslapopulationetlesaccouplements ale´atoires.Dansunefiliation,chaqueenfantre¸coitung`enedechaquege´niteur(pe`reetm`ere) avec´equiprobabilite´,pourconstituerunepaire,etlestransmissionsdeg`enessontind´ependantes.
PartieI:Ge´n´eralite´s On noteu0, 2v0,w0pytoseessdeng´oropontineltserpeptcvimeresAA,Aaetaadans la population male initiale comme dans la population femelle initiale (et donc aussi dans la population totale initiale). On a alorsu0+ 2v0+w0= 1. On pose de plus p0=u0+v0etq0=v0+w0 1)rpe´euernetestnQp0etq0?Exerlaprimdeoneng`opprtioredseepytApar rapport aux ge`nesdetypea. 2)a)´Vrefiireontioroppreselqusepytone´gsedsAA,Aaetaaremialap`tist`n-oce(´ea’re´rgne-ea`iedr pourlapopulationconstitue´edesenfants)sontrespectivement 2 2 u=p ,2v(1) 1 01= 2p0q0, w1=q0 b)stionoporespr´esgern´emaltlen´Dreteenimulprun, 2vn,wnnetose´gd,esypAA,Aaetaa respectivement,a`lan-ta`d-rioi(n’cse´en´erat-i`emegpreas`enerutanesical,rte)se´rpiafilonti des suites (un)n∈N, (vn)n∈Net (wn)n∈N. N.B.Cecimontrequ’onatteintapproximativementlastabilite´desg´enotypesd`eslapremi`ere g´ene´ration,quellequesoitlare´partitioninitiale.
PartieII:Se´lection Danscettepartie,onfaitl’hypothe`sesuppl´ementairequelesindividusdetypeaane peuvent se reproduire;onsupposedoncunaccouplemental´eatoireseulementparmilesindividusdetype AAouAaarspurjoouetgnise´dnO.u0,2v0, w0sdong´esotenesypmeneltserpporoitrespectivAA, Aaetaadans les populations male et femelle initiales. On supposew06= 1 1)a)?Quelle est la proportion de parents possibles dans la population totale initiale b)oitcnofnerenimreD´etendu0etv0netose´gnodsroitoppreslypesAAetAaparmi les parents. c)On pose u0+v0v0 p0= etq0= 1−w01−w0 Montrerqu’alorslesproportionsdestroisg´enotypesdanslapremie`reg´ene´ration(celledes enfants)sontencoredonn´eesparlesformules(1). d)Peut-on avoirw1= 1 ? 2)a)Osparteuoojrudne´isngun,2vn, wnlesotenesypdsno´gseporpitroAA,Aaetaarespective-menta`lan-`ie´´nmegeruop,eneioaterosnp’otln∈N: un+vnvn pn= etqn= (2) 1−wn1−wn 3
