Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC
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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.
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ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION SCIENTIFIQUE
Lapre´sentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´esa`encadrer,dansla mesuredupossible,lesre´sultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument; L’usagedetoutecalculatriceoudetoutmat´eriel´electroniqueestinterditpendantcette´epreuve.
Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautorise´e.
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Exercice 1 Onde´signepourtoutentiernaturelnonnuln:En=Rn[Xlopsoˆnyirotedleiefficsrnts`meoeacspsaceelv´eec],e quisontsoitlepolynˆomenul,soitdedegr´einf´erieurou´egala`n. 0 PourtoutpolynoˆmePdeEn, on notePe´edlepolynˆomed´erivP. Ond´efinitsurEnl’applicationflypoutto`aui,qeˆnmoPˆomeolynlepeosicsaf(Pd´efi)apin:r 20 f(P) = (X−1)P−(nX+ 1)P 1.Propri´ete´sge´n´erales. n k (a) Calculerf(X), f(1).Calculerf(P) pourP=kX ,∈ {1,..,n−1}etn>2. k k Quelles sont les valeurs dek∈ {0,..,n}eedr´egedslleelseuquolrpXsteediuleca`lage´f(X) ? (b) Montrerquefest un endomorphisme deEn. n (c) Ecrirela matriceAdefdans la base canonique deEn(1,X,..,X) 2.Etudepourdesvaleursparticulie`resden. (a) Onsuppose dans cette question seulement quen= 1. Trouver les valeurs propres deA. De´terminerlesvecteurspropresdel’endomorphismef. (b) Onsuppose dans cette question seulement quen= 2. Trouver les valeurs propres deA. De´terminerlesvecteurspropresdel’endomorphismef. 3.Onsupposed´esormaisquenest un entier naturel non nul quelconque. (a)MontrerquesiunpolynˆomePest vecteur propre de l’endomorphismef, alorsPseegdee´drtn. (b)Onconsid`erelespolynˆomes(Pk)06k6ntels que pour toutk∈ {0,..,n}: k n−k Pk(X) = (X−1) (X+ 1) Montrer que pour toutk∈ {0,..,n}, f(Pk) = (2k−n−1)Pk. Ende´duirelesvaleurspropresetvecteurspropresassocie´sdel’endomorphismef. L’endomorphismefest-il diagonalisable? Pour quelles valeurs dens).sasefiirenoes´rpeifctjebistjuon?(li-tse
Exercice 2 On rappelle que siUetVsseietp´tecivnids´eependantlease,´dteadieonesri`ts´deasnretdonxveuiaaresblsuetv, alorsU+Vnedeontu´ensitlbaida`eisnede´teunstarevwfieints´deseruRpar : +∞ Z w(x) =u(t)v(x−t)dt −∞ Lescandidatsdevrontadopterlanotationsuivantepourlesfonctionsder´epartition: FUiondrtit´epandertcoifanoselteU,FVdeontitiarepr´deonitcnofaltseV,aietidnsuiesopetelruffidsere´ntes variablesal´eatoiresrencontr´eesdansl’´enonce´. 1. SoientXetYtnenlleiioleopxetr`eeepedamardariaeuxvind´blesadtnpeneˆmmeseedλ >0. (a) Quelleest la loi de (−Y) ? (b) MontrerqueX−Yoptemda,itnoncfola´eitnsdeurhperafiein´d: λ −λ|z| ∀z∈R, h(z) =e 2
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(c)End´eduirequelavariable|X−Y|poexntnellieepedusnutiioleetr`eamarλ. 2. TroispersonnesA,B,Capost`alndensereattniesnˆmmeetuaph´eeronurpoelt´. Il n’y a que deux cabines, que prennentAetB, etCattend. Onsupposequelesdur´eesdecommunicationte´l´ephoniquedechacun,note´es,XA,XB,XCsont des variables al´eatoiresinde´pendantesdemˆemeloiexponentielledeparam`etreλ. (a)V´erifierqueCrosdeltnierdeerpolaesstueeleistis’lemtnenem´ev´ent(|XA−XB|< XCe)e.s´ilae´rts (b)Montrerquelavariableal´eatoireD=|XA−XB| −XCadmethrdousien.e´tp Ende´duirelaprobabilit´epourqueCsorte le dernier. 3. (a) SoientZetTtiellesdeparam`etnedlsioespxnonedaenesntisquveuiae´lriotnisepe´daselbairavxuedsert respectifsαetβ, avecα >0, β >0 etα6=β. De´terminerlaloideZ+T. (b) SoitTCapralpass´etempstotage´uaeltae´erioabriallevalaCopts.ea`al D´eterminerlaloidelavariableM= min(XA,XBeoldieraleduiend´)etTC.
Exercice 3 Onconsid`erel’ensembleCesctnoitunseusrdesfsnoitcnoruelava`leel´esriefin´esdR+. Soitϕl’applicanoit`iuquotaofettinconffait correspondreϕ(f) =Fd´eap:rnfiei +∞ Z −xt F(x) =e f(t)dt 0 On noteDFndelafon´efinitiotcoindedelbmesne’lF. 1. Expliciterla fonctionFonedelbmesitinfie´d,estnaneno´rpnsiceDF:, dans les cas suivants (a) Pourtoutt∈R+, f(t) = 1 t (b) Pourtoutt∈R+, f(t) =e (c) Pourtoutt∈R+, f(t) =t 2. SoitLtnoctesevitisop,esniefid´nsioctonl’ensembledesfssurinueR+:telles que × −mt ∀m∈R,lime f(t) = 0 + t→+∞ n (a) Montrerque sifetgsmentsdeont´el´eLalorsf+g∈L, et que les fonctionst7→tpourn∈Nsont ´el´ementsdeL. × (b)Onconside`ref∈Letx∈R. + +∞ R −xt Montrerlaconvergencedel’inte´graleF(x) =e f(t)dt. 0 xt − ( On admettra que la fonctiongde´nfieiusrR+parg(t) =e2f(tbtse´nro.)ee) 3.Etudedelad´erivabilite´deF. (a) Montrerque l’on a: 2 2 u u u uu ∀u∈[0,+∞[, e−1−u−e60 et∀u∈]− ∞,0], e−1−u−60 2 2 (Onposeradeuxfonctionsetoncalculerajusqu’a`leurde´rive´eseconde) 2 u u|u| Ende´duirequepourtoutr´eelu: 06e−1−u6e(*) 2 3
