Mathématiques 2001 Classe Prepa B/L ENSAE
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Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.
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ENSAE2001,option´economie.dure´e4heures
PROBLEME 1
Onconside`relesfonctionsd´efiniespar Z Z x x t tdt f(t) =√etF(x) =f(t) dt=√ 3 3 31 13 t−1t−1 x x √ √ 3 3 ou`lafonctiont7→tfiniesurestd´eR(par exemple−8 =−2). L’objetduproble`meestl’e´tudedelafonctionF. On noteCerebruocase.ivatntse´epr 1)Domaineded´efinition: ´ a)Eidutalre´tgearelssiuavtnconvergencedesina`saparereluclaconu’(qescherchne): Z ZZ 1 +∞0 0 I=f(t) dt, J=f(t) dt, J=f(t) dt 0 2−∞ b)Justifier queF´etdiefinus]res− ∞,0[. c)endoitinfie´dalregnopeutprolrerqu’onoMtnF]0`a,+∞[ en posant ZZ 1x F(x) =f(t) dt+f(t) dtpourx >0 etx6= 1 1 1 x F(1) = 0 ´ 2) Etudeaux bornes : ∗ a)Dinrmte´emilselrealedsetifonctionFefid´tinionauxbornseedosdnmoiaenedD=R. b)Montrer que, pour toutx <0, on a : Z Z 0x 1 F(x)−x=f(t) dt+g(t) dt,ou`g(t) =1−1 13 1 0 x1−3 t Z 0 ´ c)eEocvnreegutidrealnt´egralncedel’iK=g(t) dt −∞ End´eduirel’alluredelacourbeCdeFpourx→ −∞. d)+enueriaFdean´etuueenalog∞. 3) Variations: 0 a)Justifier que la fonctionFvablesurdtseire´D=]− ∞,0[∪]0,1[∪]1,+∞[eCe.´vire´dasrelucla et´etudiersonsigne. 10 b)Montrer queFest de classeCeepncntoirefiie’uqte1nre´vFs’annule sans changer de signe (on dit queCnpointdp’r´esenteune)1.nieflixno c)ne.nsigersotudiC´eadv´ricualrlleFedee´teeseednoc d)dslefanotcoinse´relcresbmRsataunnsdatstaulesnoitairaveduaelbF. 4) Courbe:Dessiner l’allure de la courbeC.
PROBLEME 2 D´efinitionsetnotations: •SoitEunC-espace vectoriel de dimension finien≥1. On noteL(E) l’ensemble des endomorphismes deEetGL(E) l’ensemble des endomorphismes bijectifs deE. •Pourf∈ L(E), une partieAdeEest dite stable parfsif(A)⊂A. •nUopmoneylˆneldnuonC[Xriatinutocnosisedist]e’cse-ta`d-rileeefficientdominant( coefficientdutermedeplushautdegre´)vaut1. d X k ´ •meynˆonpoln´eudtnotEnaP∈C[Xtnavirce´’s,]P=akX, on pose k=0 d X k kk−1 0 P(f) =akfo`uf=f◦fsik≥1 etf=Id. k=0 Par exemple, siλ∈CetP(X) =X−λ, alorsP(f) =f−λId. On admettra que, si P(X) =Q(X)R(X), alorsP(f) =Q(f)◦R(f) =R(f)◦Q(f). •uetoutpolynˆomedernOeppaeellqnfinC[Xp]uest´’ceiru’demrofalsuosereund’itduronp constanteetdepolynˆomesdutypeX−αi, avecαi∈C. •Un endomorphismef∈ L(E) est dit cyclique s’il existe un entier naturel non nulpet un vecteur a∈Etels que : p2p−1 C=a, f(a), f(a), . . . , f(a) a soitunepartieg´en´eratricedeEde cardinalp, stable parftidtnemertua,v,e´irefieltsorsi propri´et´essuivantes: p (i)Cde`essoppts;daueue`xitcndxsiel´me´esdnt a p pj p (ii)f(C)⊂ Cuttourpo-tse’c,:erid-a`j∈[1, p]], f(aunstl´´e)enemeedtC; a aa p p (iii) Vect(C) =Eelritoecevacsp-erape´rdnegne,c’es:eelossu-ta`d-riCeagal`st´eE. a a p Une telle partieClseepaptee´cycledefet on dit alors quefestcyclique d’ordrep. a L’objetduproble`meestl’e´tudedequelquesexemplesetproprie´t´esdesendomorphismescycliques. Questionpr´eliminaire Soitf∈ L(E). Prouver queλest une valeur propre defsi et seulement sif−λIdn’est pas bijectif. Partie 1 1)Soitf∈ L(E), cyclique d’ordrep; on rappelle quen= dimE. a)Justifier quep≥n. b)Montrer quefest de rang au moinsn−1. 2 2)Soith∈ L(E) tel queh=h. Montrer que Im(h) = Ker(h−Id). Pour quelles valeurs den= dimEl’endomorphismeh?uecyreiqclˆltetui-ep p Comment faut-il choisirapour queCsoit un cycle deh? a 2 3)DansC, soitfun endomorphisme cyclique d’ordre 2; prouver que 1 est valeur propre de fpn´rleminiiaer).O(.uopnuarrlitirlseueaqiost n 4)Onconsid`ereB= (e1, . . . , en) la base canonique deC. n a)Soitfl’endomorphisme deCdont la matrice dans la base canoniqueBest 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 . . 1 .. . . . . A= 0 . .. . . . . .. .0 0 0∙ ∙ ∙0 11 Montrer quefest cyclique et expliciter un cycle defermiD´et.dgerenaenlrf. L’endomorphismefstelbasilanogaidli-rlieysesemt`eO(?euopn´arrduteAY=λY`ou Yest un vecteur colonne etλ∈C.) 2
n b)Meneodce’lihmsomprsqueˆemensavstiogdeC, de matrice dans la base canoniqueB, 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 –1 . . 1 .. . . . . . B= 0 . .. . . . . . .. .0 –1 0∙ ∙ ∙–10 1
Partie 2 p Soitf∈ L(E) un endomorphisme cyclique etCun cycle def. a 2m−1 1)Soitmle plus grand entier tel que la familleF=a, f(a), f(a), . . . , f(alibre.) soit a)Prouver que, pour toutk≥m,fk(a)∈Vect(F). n−1 b)deiunE´dleilamafelqureB=a, f(a), . . . , f(a) estune base deE. 2)Prouver que si [P(f)](a) = 0 alorsP(f) = 0. Danstoutelasuiteduproble`me,onsupposequef∈GL(E). p p 3)a)Montrer que, siCest un cycle def, on af(a) =a. a p b)Prouver quef=Id. 4)a)Montrer qu’il existe une base deEdans laquelle la matrice def’sit´ecr 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 –α0 . . 1 ..–α1 . . . . 0 . .. . . . . . .0. .. 0∙ ∙ ∙0 1–αn−1 b)epolynˆomeunitaisietcndeu’uninuqedd´Enexl’reuierTdgedee´rn, tel queT(f) = 0. c)emonnyoˆpeloapdsisten’exu’ilverqouPrulnnP∈C[X] tel que degnP <etP(f) = 0 p 5)Prouver queToˆemlepelonydivisX−dilcuen1oenneiidalisivce´aerirouapelrcnp.Orrou p p X−1 parT, sous la formeX−1 =Q(X)T(X) +R(X). 6)Soitλune racine deT. En posantT(X) = (X−λ)Q(Xu`,o)Qetsnuopylˆnmoetelque degQ < n, prouver queλest une valeur propre def. 7)Prouver quefest diagonalisable. (On pourra montrer queftsairemen´nedseceope`ssnvaleurs propres distinctes.)
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