Mathématiques 2000 Classe Prepa B/L ENSAE
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Examen du Supérieur ENSAE. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.
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ENSAE CONCOURS DENTREE 2000
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
La clarté et la rigueur des raisonnements, ainsi que la qualité de la rédaction (présentation, lisibilité, orthographe) seront des éléments importants dappréciation des copies. Il est notamment demandé aux candidats dencadrer les résultats obtenus et de faire apparaître clairement les théorèmes utilisés et les points clés de leurs réponses.En particulier pour les questions dont lénoncé fournit la réponse, le détail des calculs ou des justications doit gurer explicitement sur la copie.
PROBLEME I Mn(R)désigne lespace vectoriel des matrices carrées de taille2à coe¢ cients réels. 1. (a)Montrer que lensemble ab 2 C=fM(a; b) =;(a; b)2Rg b a est un sous-espace vectoriel deM2(R): Préciser sa dimension et en donner une base. On considère lapplication C! C :ab z=a+ib7!M(a; b) = b a oùaetbdésigne respectivement les parties réelle et imaginaire du nombre complexez: 0 (b) Montrerque, pour tous nombres complexeszetzdeC;on a 0 0 (z+z) = (z) + (z) 0 0 (zz) = (z)(z) En déduire que p p (8z2C)(8p2N) (z) = ((z))
(c) Lapplicationest-elle un isomorphisme despaces vectoriels ?
2. (a)Soit2[0;2[etAla matrice cossin A= sincos k Pourk2N;calculerA :Le résultat est-il encore valide pourk2Z? (b) Soitp2N:Déterminer une matriceM2M2(R)telle que 2 0 p M=J;oùJ= 02
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3. Onconsidère lapplication R[X]!R[X] f: 200 0 P(X)7!(1 +X)P(X)2XP(X) Soitn2NetEn=Rn[X]le sous-espace vectoriel deR[X]constitué des polynômes à coe¢ cients réels de degréinférieurou égal àn: (a) Justierque, pour toutn2N;la restrictionfndefàEnest un endomorphisme deEn: (b) Déterminerle noyau defn:Préciser sa dimension. (c) Déterminerles valeurs propres defnet préciser leur multiplicité. (d) Lendomorphismefnest-il diagonalisable ? (e) Soitp2NDéterminer un endomorphismeun entier xé.gndeEntel que p gn=gngn gn=fn (gnest composéppourra utiliser la question 2.b)fois). On
PROBLEME II PARTIE A Pourx2R;on pose
+1 Z xt L(x) =dt:t e 0
1. (a)Déterminer le domaine de dénitionDdeL: (b) Prouverque, pour toutx2D; L(x+ 1) = (x+ 1)L(x): (c) CalculerL(n)pourn2N: 2. Prouverque pour toutx >0et2]0;1[, on a x(1+) x Z Z x u xt xxu t edt) (1+ )= (e du(1) e x x x(1)
+1 R2 t 3. (a)Rappeler la valeur de lintégraleI=e dt: 1 (b) Soit >0et >0:Prouver que 0 1 x Z 2 1 1 u @2xA limpe du=p(2) x!+1 2x x
4. (a)Prouver que, pour tout"2]0;1[;il existe un réel02]0;1[tel que, pourbvériantjvj< 0;on ait 2 2 v v (1 +")6ln(1 +v)v6(1") 2 2 (b) Pour"et0ainsi choisis, en déduire que, pourx >0etuvériantjuj< 0x;on a 2 2 u u u (1+")uu(1") e6(1 +)e6e(3) 2x2x x
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5. (a)Soitf; g1etg2trois fonctions continues surR:On suppose que les fonctionsg1etg2admettent en +1une limite (nie) quon notera respectivementl1etl2et quil existeX0>0tel que, pour tout x > X0; g1(x)6f(x)6g2(x): Prouver que, pour tout" >0;il existeA2Rtel que (8x > A)l1"6f(x)6l2+"(4) (b) Prouverlexistence deh02]0;1[tel que, pour touthvériantjhj< h0, on ait 1 p 16jhj(5) 1 +h (c) Soit"2]0; h0[; 0associé à"comme à la question A.4.a) et2]0; 0[: Prouver quil existeB >0tel que, pour toutx > B;on ait x Z 1u xu 12"6p(1 +)e du61 +"(6) 2x x x (On pourra utiliser entre autres la question A.3.b))
PARTIE B p x x 1. Pourx >0;on poses(x) 2) = (x: e xt (a) Pourx >0;on notela fonction dénie par(t) =:t eEtudier les variations de la fonction x xx surR+: (b) Justierque, pour toutvériant0< <1;on a 0<(1)e <1et0<(1 +)e <1
(c) Prouverque, pour touttel que0< <1;lintégrale
x(1) Z 1 xt J1(x) =dtt e s(x) 0
tend vers0lorsquextend vers+1:(On pourra utiliser les variations desur[0; x(1)]:) x (d) Prouverpareillement que, pour touttel que0< <1;lintégrale
+1 Z 1dt x+2t J2(x) =t e 2 s(x)t x(1+)
tend vers0lorsquextend vers+1:
2. (a)Montrer enn que, pourxtendant vers+1;on a p x x L(x)2( )x: e (b) Endéduire un équivalent den!
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