E.N.S.A.E.1999.Concours“´economie” PROBLEME 1 Noration :Pour deux entiers naturelspetq≥p, on note[p, q]] = [p, q]∩N-`st’e,c’lerid-aelbmesne des entiers naturels compris, au sens large, entrepetq. ∗ 1)a)Pour tout entierk∈Nillrteba´,muleafor k X j k C =2 (1) k j=0 2N+1 X j ∗ Ende´duirelavaleur,pourN∈NC ., de 2N+1 j=N+1 r X n−1n b)Pour tousn∈N, n≥2, etr∈NC =C (2), montrer que : n−1+j n+r j=0 2)a)Soientnetp:t1uediersxentifianv´er≤p≤n. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensemble Edsantes`aentcroistsirtcmeseustisepeblemns’elsnadstneme´le´I=[1, n]] : E={(q1, q2, . . . , qp)/1≤q1< q2< .. .< qp≤n} Soitr∈[0, p−1]] etk∈[0, n−te´e.D]]leerinrmlanidrace-suosudnsemble1EkdeE constitue´dessuitesstrictementcroissantes(q1, q2, . . . , qp) pour lesquellesqr+1=k+ 1. n−p+r X p rp−r−1 End´eduirelaformuleC=CC n kn−k−1 k=r ∗ b)uttourseluammoaledmrofntvapoe,irtouies´Ddeiuipr´ec`eredecequN∈N: N X N k2N SN2 =2= C 2N−k k=0 c)4(c)itnosssu-iedrouvRetrelaerlarrence.ennotnemrrapuce´l’`adeaiund’isra 3)xdcueasevojruteuoenm`roep,snimu´edrevuorteresedruruedobbnno,sedepUnamate boıˆtesdecachous,unedanschaquepochedesaveste.Initialementchaqueboˆıte,neuve, ∗ contientlemˆemenombreN(N∈N) de cachous. Chaque fois qu’il a envie d’un bonbon, l’individuchoisituneboˆıteauhasard(leschoix´etantinde´pendants)etentireunbonbon. On noteXNnadterts’nalslavarlbai´laeotaederiomunedbronebnsboautreboˆıte lorsqu’il se rend compte que l’une des boˆıtes est vide (on prendra garde que ceci ne se produit pas lorsqu’iltireledernierbonbon,maisa`latentativesuivante). a)e´laiotaerbaelaviredallaionerlermiD´etXN. Ve´rifierqu’onabienuneloideprobabilit´e. ´ b)Etablir la relation, pour toutk∈[0, N−1]] : 2(N−k)P(XN=k) = (2N+ 1)P(XN=k+ 1)−(k+ 1)P(XN=k(5)+ 1) End´eduireque E(XN) = (2N+ 1)P(XN= 0)−1 (6) En admettant que √ n n n!∼2nπ(7) n→+∞ e q N montrer que :E(XN)∼2 . π n→+∞ c)On appelleYNvalairaederbmonrsnobnobdanttaesns´laelbaepeerotripournanturlevale l’autreboˆıtelorsqu’unepremi`ereboˆıteestvide´e(etnonlorsqu’onde´couvrequ’elleestvide). De´terminerlaloideYN. d)tie´balirpboeraleduiEnd´pName`ire`etpaslapr´eenesoirteˆdiveıˆoba`etmirere`equapel ˆetretrouve´evide.
Montrer que : N C 2N−1 pN= 2N 2 1 puis,`al’aidedel’´equivalent(7),quepN∼ √. n→+∞ 2N π
PROBLEME 2
(8)
Partie 1 Onconsid`erel’espacevectorielE=R5[Xge´ua`lanO.5etonmesdynˆospol]deueore´iriefnge´rE1 l’ensembledespolynoˆmesimpairsdeEetE2ylopsedeapsemoˆnesdirl’ensemblE.Oegnsi´end k parek, (0≤k≤)5eld´eemeisq´ueelaenloanbnatssedcEde sorte queek(X) =X. On nommera pareillement “base canonique” deEl(resp. deE2) la base (e1, e3, e5) (resp. (e0, e2, e4)) deE1(resp.E2). 1)Justifier queE1etE2upsselrintme´eplapse-suootcevsecseuxsontdiaerdseEa-direc,e’ts`-E=E1⊕E2. 2)a)Montrer que l’applicationσmeˆoyqnuolattpio`uP∈E2meoˆnylopeleicossaσ(Pefini)d´ par 200 0 σ(P)(X) = (X+ 1)P(X)−XP(X) (1) d´efinitunendomorphismedeE2. b)Donner la matrice deσdans la base canonique (e0, e2, e4) deE2. c)reim´Dteneyoenlraudeσ, ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres. d)σ?est-il diagonalisable 3)a)Montrer que l’applicationsloptoˆnyemqui`atouP∈E2sacisoepelynolmeˆos(P´dfie)rinap 200 0 s(P)(X) = (X−1)P(x) +XP(X) (2) de´finitunendomorphismedeE2. b)Donner la matrice desdans la base canonique (e0, e2, e4) deE2. c)oyaurlenmineeter´Deds, ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres. d)sest-il diagonalisable? 0 4)ationqui`atoutposndie`er’lpalpcicoOnemoˆnylP∈Eynolepel2meˆoicossaXP(X)−P(X). a)Montrer que la restrictionfde cette application au sous-espaceE2nlpcitaoinituneapd´efi line´airedeE2dansE1. b)noqicsnaseepeursesdectivabeslssednnataoiplicteapeceticedrtamalrenimrete´DE2et E1. c)Montrer quefest un isomorphisme. Partie 2 SoitEun espace vectoriel surRargnep´esi.Ondn´nnoseceriasnemeedtdenimonsiiefinE1et E2eesorteque-psossuedxusulsieorctveesacd,seriatneme´lppE=E1⊕E2ngperaO.dne´iss un endomorphisme deE2et parfvetiecijdeialennouiiltpapcberiae´nE2dansE1. Ax∈E s’´ecrivantx=x1+x2u(,o`x1, x2)∈E1×E2, on associe −1 F(x) =f(x1) +f(x2) +s(x2) (3) 1)a)Prouver queFest injective. b)Prouver queFest surjective (on ne suppose PAS queEest de dimension finie) et exprimer −1 F(y,)u`oy=y1+y2∈Eet (y1, y2)∈E1×E2 2
2)a)On suppose queFadmet une valeur propreλ∈R. Soitx6sseaprroe,i´ocnu0=pruetcev de´compos´eenx=x1+x2o`u(x1, x2)∈E1×E2. Prouver quex1etx2sont non nuls et que x2est vecteur propre des. b)e´icReuqesopupns,ontmeueoqprsenutemdalleoprer´eevaleurprµ. Prouver queFadmet aumoinsunevaleurproprere´elleλte´D.urenimreurteecnvdereopprFco´iass`eaλen fonction d’un vecteur proprex2des´eci`aossaµ. c)Montrer que siu1, . . . , uksont des vecteurs propres desenepd´ine`aunse´icossatestnad mˆemevaleurpropreµdes, alors les vecteurs propres deFl´essontentcalcue´cemmed´rp ind´ependants. Onsupposede´sormaisEdedimensionfinie,etonposen= dimE1 3)a)Justifier que dimE1= dimE2=net dimE= 2n. b)Soientµ1, . . . , µpleel´esrreopprrsuelavselsdistinctesdes. Prouver queFadmet 2pvaleurs propresre´ellesdistinctes. c)Montrer que sisest diagonalisable,Fl’est aussi. Partie 3 1)tteceuqedeirsen`soncandOiostnE=R5[X] et les applicationssetfeitrasdanslapd´efinie 1. De´terminerlesvaleurspropresdel’applicationFdantsponorrecd´e(niefianedapslitra.)2e 2):locsucsantdemaladease´decirtbrapeinfiireappliquerlesre´ustltaps´rcee´nOse´d 0 2–1 0I3 A= rmou`B= 20 1 I3B –2 2 1 etou`I3eunitriclamaigne´dse.3erdro’de´t a)Donner les matrices des applicationssetftantd’appermets`nuatstateob´rseluseqilplreu la partie 2. b)La matriceA?est-elle diagonalisable