Mathématiques 1 2004 Classe Prepa PC Concours Centrale-Supélec
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Concours du Supérieur Concours Centrale-Supélec. Sujet de Mathématiques 1 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2004 sur Bankexam.fr.
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MATHMATIQUES IFiliËre PC MATHMATIQUES I
n Dans tout le problËme,a=(a)dÈsigne une suite de complexes eta z n n∈IN∑n la sÈrie entiËre associÈe, dont le rayon de convergenceRest supposÈ non nul a et Þni. n On noteCdes complexes lÕensemblezmodule deR telsquea z a a∑n est convergente. On appelle cercle unitÈ lÕensemble des complexes de module 1 : un complexez appartient au cercle unitÈ si et seulement sÕil existe un rÈelx‡ appartenant ix lÕintervalleI= ]Ðπ,π]tel quez=e. DÕautre part on note:2πZZ={2kπk∈ZZ}, et[[p,q]]lÕensemble des dÈsigne entiers naturelskvÈriÞant :p≤k≤q. On Ètudie diffÈrentes sÈries entiËres pour lesquelles lÕensembleCprend diffÈ-a rentes formes. Dans le cas o˘Cest un cercle, on propose dÕobserver diffÈrents comportements a de la fonction somme de la sÈrie entiËre sur ce cercle.
Partie I - Calculs prÈliminaires Les rÈsultats de cette partie sont destinÈs ‡ prÈparer les dÈmonstrations des parties suivantes. I.A -Montrer les inÈgalitÈs : 2 ∀x∈[0,π],0≤sinx≤xet∀x∈[0,πÚ2],sinx≥-x. π I.B -Montrer que pour toutx quiappartient ‡IR\2πZZ etpour tout couple dÕentiers naturels(p,q)tel quep≤q: q ikx 1 e≤. ∑-x k=p sin- 2 I.C -Soient(u)et(v)deux suites complexes. n*n* n∈INn∈IN
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MATHMATIQUES I
FiliËre PC
FiliËre PC
On note(V)la suite des sommes partielles de la sÈriev: n*∑n n∈IN n≥1 n * pour toutn∈IN,V=v. n∑k k= 1 I.C.1) Montrerque pour tout couple dÕentiers naturels(p,q) telque 1≤p<qÐ 1, on a : q qÐ 1 u v=(uÐu)V+u VÐu V. ∑k k∑k k+ 1k qq p+ 1p k=p+ 1k=p+ 1 I.C.2) Onsuppose que la suite(V)est bornÈe et que la sÈrie * n n∈IN uÐuest absolument convergente. ∑k k+ 1 k≥1 Montrer que la sÈrieu vest convergente. ∑n n n≥1 I.C.3) Onsuppose que la suite(V)est bornÈe et que la suite(u) n*n* n∈INn∈IN est dÈcroissante, convergente et de limite nulle. Montrer que la sÈrie u vest convergente. ∑n n n≥1 I.D -DÈduire des questions prÈcÈdentes que pour toutx quiappartient ‡ IR\2πZZ, les sÈries cos(kx)sin(kx) --et--sont convergentes. ∑ ∑ k k k≥1k≥1 Que dire pour un rÈelxqui appartient ‡2πZZ?
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MATHMATIQUES IFiliËre PC Partie II - Quelques exemples dÕensemblesC a On se place dans le cadre des notations de lÕintroduction. n II.A -Soit(b)dÈÞnie pour toutn∈INpar :b=a(R). a n n∈n n IN n Montrer que le rayon de convergence de la sÈrie entiËreb zestR= 1et ∑n b z quÕun complexezappartient ‡Csi et seulement si-appartient ‡C. a b R a On se ramËne ainsi ‡ lÕÈtude de sÈries entiËres de rayon de convergence Ègal ‡1 II.B -On suppose dans cette question queaest convergente et queR= 1. ∑n a II.B.1) DÈterminerC. a II.B.2) Onnote pour toutn∈IN: I→IC : fn. inx x→a e n Montrer que la sÈrie de fonctionfconverge uniformÈment surIvers une ∑n fonction continue surI. n II.B.3) Donnerun exemple simple de sÈrie entiËrea zpour laquelleC ∑n a est le cercle unitÈ. n II.C -Donner un exemple simple de sÈrie entiËrea zpour laquelleR= 1 ∑n a etCest vide. a II.D - Construction de quelques cas intermÈdiaires. n II.D.1) Onsuppose quÕil existe un complexezde module 1 tel quea zsoit 0∑n0 n semi-convergente (cÕest-‡-dire quea zest convergente mais ne converge pas ∑n0 absolument). Montrer quÕalorsR= 1. a *1 II.D.2) Soitξun complexe de module 1. Si pour toutn∈IN,a=--, mon-n n nξ trer queCest le cercle unitÈ privÈ dÕun point ‡ dÈterminer. a * II.D.3) Soitp∈INetpcomplexes distinctsξ, ,ξ, tous de module 1. 1p n Construire un exemple de sÈrie entiËrea zlaquelle pourCle cercle est ∑n a unitÈ privÈ desppointsξ, ,ξ. 1p *cosn II.D.4) Onsuppose que, pour toutn∈IN,a=--. n n DÈterminerRetC. a a La sÈrieaest-elle convergente ? ∑n n≥1
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MATHMATIQUES IFiliËre PC Partie III - Un exemple pour lequelCest le cercle unitÈ et a adiverge ∑n Dans cette partie, on dÈÞnit la suiteade la faÁon suivante : n ¥a= 0, o ¥ pourtout naturelpnon nul et tout naturelntel que p 2 2(Ð 1) p≤n≤(p+ 1)Ð 1 :a=--. n 2 p III.A -Montrer que la sÈrieaest divergente. ∑n (On pourra par exemple chercher un Èquivalent dea). n III.B -Soit(A)la suite des sommes partielles de la sÈrie numÈriquea. n∑n * 2 III.B.1) PourN∈IN, on notePle plus grand entier naturel vÈriÞant :P≤N. On pose :R=AÐA2. N N PÐ 1 2P+ 1 Montrer queR≤--. N 2 P III.B.2) EndÈduire que la sÈrieaest convergente. ∑n ix III.C -Soitz=eun complexe de module 1, avecxnon nul appartenant ‡I. III.C.1) CalculeraÐasuivant les valeurs du natureln, et en dÈduire que n+ 1n la sÈrieaÐaest convergente. ∑n+ 1n n III.C.2) DÈduiredes rÈsultats prÈcÈdents et de la partie I que la sÈriea z ∑n est convergente.
Partie IV - Un dernier exemple
IV.A -On veut montrer quÕil existe une constante rÈelleC 1 entier naturel non nulnet tout rÈelx: n sin(kx) -≤C. ∑1 k k= 1
telle que pour tout
Soientx∈]0,π[etkle plus grand entier naturel tel quek⋅x≤ π. x x IV.A.1) Onsuppose que1≤n≤k. Montrer que : x n sin(kx) 0≤-≤ π. ∑ k k= 1
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MATHMATIQUES IFiliËre PC IV.A.2) Onsuppose quen>k. Montrer que : x n sin(kx) -≤2. ∑ k k=k+ 1 x On pourra notamment utiliser le rÈsultat de la question I.C.1. IV.A.3) Conclure. IV.B -SoitnetNdeux entiers naturels tels que :1≤n≤N. SoitQle polynÙme dÈÞni par : n,N NÐ 1N+n 1k1k Q(X)=-X+-X. n,N∑ ∑ NÐk NÐk k=NÐn k=N+ 1 IV.B.1) Soitx∈IR. Montrer que : n ix iNxsin(kx) Q(e)= Ð2ie--. n,N∑ k k= 1 IV.B.2) EndÈduire quÕil existe une constante rÈelleCque, pour telle 2 tout couple de naturels(n,N)tel que1≤n≤Net tout complexezde module 1 : Q(z)≤C. n,N2 IV.C -, on pose :Pour tout entier naturel non nul 3 3 (j) (j+ 1) n= 2,N= 2etI= [[NÐn,N+n]]. j jj jj jj VÈriÞer que les intervallesIainsi dÈÞnis sont disjoints deux ‡ deux. j
Pour toute la suite du problËme, onpose pour tout naturelnon nul: P=Q, et on dÈÞnit les suites(α)et(a)de la faÁon suivante : j n,kN k∈INk∈ j jkIN ¥ sÕilexistej∈IN*tel quek∈I, etk≠N, alors : j j (ik)Új 1e α=--eta=--; k k 2 NÐk j j(NÐk) j ¥ sinonα=a= 0. k k k On Ètudie la sÈrie entiËrea z. ∑k * Pour toutn∈INetx∈]Ðπ,π], on note 1 n n i x+- j ikx1 A(x)=a eetB(x)=-P e. ∑n∑2 n kj j k= 0j= 1
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MATHMATIQUES IFiliËre PC IV.D -Montrer que la suite de fonctions(B)converge uniformÈment sur n * n∈IN Ivers une fonction continue que lÕon noteraF.
IV.E -Montrer que pour tout naturelnnon nul et toutxappartenant ‡I: B(x)=A3(x). n (n) 3⋅2 IV.F -On veut montrer que la suite de fonctions(A)converge Ègalement n n∈IN versFsurI. * 2 IV.F.1) Montrerque pour toutj∈INet(p,q)∈(I)tels quep<q: j qÐ 1 αÐα ≤4. ∑k k+ 1 k=p IV.F.2) EndÈduire quÕil existe une constante rÈelleC telleque pour tout 3 entier naturelnon nul, pour tout couple de naturels(p,q), tels quep≤qet pour tout rÈelxnon nul appartenant ‡I: q C ikx3 αe≤-. ∑k x k=p IV.F.3) Soitx∈I,x≠ π. VÈriÞer que, pourentier naturel sufÞsamment grand, on a 1 1 x+-≠0etx+-∈I. j j En dÈduire que pournnaturel sufÞsamment grand : C 3 3 13(j) (j+ 1) A(x)ÐB(x)≤---est lÕentier naturel tel que, o˘2≤n<2. n j 2 1 j x+-j On considËre maintenant le casx=π. Montrer, avec les mÍmes conditions sur etn, que C 13 A(x)ÐB(x)≤---. n j 2 1 j πÐ-j IV.F.4) Conclure.
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MATHMATIQUES IFiliËre PC IV.G -On note pour toutn∈IN: I→IC f:. n inx x→a e n On veut prouver que la sÈrie de fonctionsfne converge pas uniformÈment ∑n surI. IV.G.1) Montrerque, pour tout entier naturelnon nul : 3 (j) 2 1 11 1 AÐ-ÐAÐ-=--. j j2∑k N NÐnÐ 1 j jj j k= 1 IV.G.2) Donnerun Èquivalent simple de cette expression lorsquetend vers+∞et conclure. IV.H -DonnerRetC. a a
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