Mathématiques 1 2003 Classe Prepa PSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)
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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 1 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2003 sur Bankexam.fr.
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SESSION 2003PSIM105 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PSI ______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Dans tout ce problème, on désigne parµune application continue2π périodique deRdansRet on considère l’équation différentielle : (E)y′′ +y=µ(t)µ On désigne parsurR(E) qui vérifie en outre les relationsϕ(0)=ϕ′0)=0 . ϕµla solutiondeµµ µ Pourx∈R, on note : xx ( )=µ( )=µ Gµx tcost dt etHµ(x) (t)sint dt ∫0∫0 Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonctionµ. Dansla partie II et la partie III, on étudie un exemple explicite. PARTIE I On désigne parFµ la fonction définie surR parFµx)=(sinx)Gµx)−(cosx)Hµ(x). Tournez la page S.V.P.
2 Pour simplifier les notations, on écriraF, G,H,ϕ pourdésigner les fonctions ϕ. F,G,H, µ µµµ I.1Justifier la dérivabilité deG,Hdonc etF. PréciserF(0) etF′(0). 2 I.2que MontrerF est de classeCsurR et exprimerF′′x)+F x) en fonction deµ(x). I.3l’affirmation JustifierF=ϕ. I.4 Etudedu caractère2 périodique deϕ. I.4.1Calculer la dérivée deG(x+2π)−G(x) etH x+2π)−H(x). I.4.2ExprimerG(x+2)−G(x) en fonction deG(2π) etH(x+2)−H(x) en fonction deH2π). I.4.3 Exprimerϕ(x+2)−ϕ(x) en fonction desinx, cosx,G(2π),H(2π). I.4.4quelle condition nécessaire et suffisante portant sur AG(2π)etH(2π) la fonctionϕ estelle2 périodique ? I.4.5estelleLa fonction2 périodique lorsqueµt)=sintlorsque? (resp. µ(t)=cost?) I.4.6La fonctionϕbornée lorsque estelleµ(t)=sintlorsque? (resp. µ(t)=cost?) I.4.7Montrer que la fonctionϕ est2 périodique lorsqueµ(t)=sint. I.4.8Les fonctionsϕ,′, etϕ′ sontelles bornées lorsqueµ(t)=sint? Dans toute la suite du problème, on suppose queµ(t)=sint. PARTIE II −t Calcul deeϕ(t)dt∫R+ −t II.1Justifier l’intégrabilité surR+ dela fonctiont!esint. (n+1)π −t II.2Pourn∈N, on notev=esint dt. ∫nπ n II.2.1 Calculerv. 0 2
3 II.2.2 Montrerqu’il existe un nombre réelρtel que (quel’on explicitera) n pourtoutn∈N, onaitv=ρv. n0 +∞ ∑∑ II.2.3déduire la convergence de la série Env etexpliciter sa sommev. nn n≥0n=0 −t II.2.4déduire la valeur de l’intégrale Enesint dt. ∫R+ II.3 II.3.1des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de DéduireI.4.8) que les −t−t−t ϕ( )ϕ′( )ϕ′′) fonctionst!e t,t!e t ett!e tsur sont intégrablesR+. −t−t II.3.2Etablir une relation entree µ(t)dt eteϕ(t)dt. ∫R+∫R+ −t En déduireeϕ(t)dt. ∫R+ PARTIE III Développement de Fourier des fonctionsµ. et Sif est une application continue2 périodique deRdansR,on désigne para(f) etb f)n n les coefficients de Fourier réels def: 1 1 2π2π a(f)=f(t)cos(nt)dt etb(f)=f(t)sin(nt)dt pourn∈N. ∫0∫0 n n π π Lorsqu’elle converge, on désigne parSF(t) la somme de la série de Fourier : f +∞ a(f) 0 f∑n n SF(t)= +a(f)cos(nt)+b(f)sin(nt). 2 n=1
III.1 III.1.1 Justifierla convergence de la série de Fourier de la fonctionµ(rappel :µ(t)=sint). III.1.2la convergence de la série de Fourier de la fonction Justifierϕ(rappel :ϕ′′(t)+ϕ(t)=sint,ϕ(0)=ϕ′(0)0). III.2 Série de Fourier de la fonctionµ.
III.2.1les coefficients Calculera(µ) pourn∈N. Quelle est la valeur des coefficients n * b(µ) pourn∈N? n +∞ 11 III.2.2.et expliciter sa somme Etablirla convergence de la série ∑2∑2 − p≥1(4p−1)p=14p1 3 Tournez la page S.V.P.
4 1 ∑ III.2.3la convergence de la Etablirsériecalculer sa somme et 2 2 (4p−1) p≥1 +∞ 1 ∑2 . 2 (4p−1) p=1 III.3 Série de Fourier de la fonctionϕ. III.3.1Etudier la parité des fonctionsG,H puis celle de la fonctionϕest la. Quelle * valeur des coefficientsb( ) pourn∈N? n III.3.2une relation entre Etablira(ϕ′′) eta(ϕ) pourn∈N. n n III.3.3déduire la valeur de Ena( ) pourn≠1. n III.3.4 Calculera(ϕ). 1 1 ∑2 4 III.4la convergence de cette série et. JustifierOn considère la série (−) (−) p≥14p1 16p1 +∞ 1 expliciter sa sommeen calculant l’intégrale duII parun autre procédé ∑2 4 p1(4p−1) (16p−1) = qu’on justifiera soigneusement. 2 III.5On considère dans cette question l’applicationde classeC deR dansR vérifiant : φ′′(t)+(t) (t) pour touttR etφ(0)=φ′(0)=0. III.5.1 Lafonctionφ estelle2π périodique ? III.5.2fonction Laφbornée sur estelleR?−t III.5.3La fonctiont!e(t)estelle intégrable surR+? Fin de l'énoncé.
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