LM100 Méthodes de calculs et Statistiques Examen du septembre durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Les exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté I Fonction de plusieurs variables Soit f la fonction dépendant de la position x et du temps t définie par

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Philippe Savoini

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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques 2005-2006 Examen du 5 septembre 2006 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. I. Fonction de plusieurs variables Soit f la fonction, dépendant de la position x et du temps t définie par ? f (x, t) = A o cos(?t ? kx) avec ? A o , ? ? et k des constantes positives. I.1.a Calculer la dérivée partielle ? ?f?x ainsi que la dérivée seconde ? ?2 f?x 2 de f suivant x. I.1.b Calculer, de même, les dérivées partielles ? ?f?t et ? ?2 f?t 2 suivant t. I.1.c En déduire la différentielle totale de la fonction f. I.2 Déterminer la relation existant entre les quantités ? ? et k pour que la fonction f vérifie pour tout x et tout t, la relation ? ?2 f (x, t)?x 2 = 1v 2 ?2 f (x, t)?t 2 où ? ? est une constante dont on déterminera les caractéristiques en fonction de ? ? et k.

horloge mesurant le temps par écoulement

système d'équations linéaires

ordre de difficulté

matrice carrée d'ordre

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Système d'équations linéaires

LM100 Méthodes de calculs et Statistiques 2005-2006 Examen du 5 septembre 2006 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.I. Fonction de plusieurs variables Soit f la fonction, dépendant de la positionxet du tempstdéfinie par avec , etkdes constantes positives.

I.1.aCalculer la dérivée partielle

ainsi que la dérivée seconde

defsuivantx.

I.1.bet suivantCalculer, de même, les dérivées partiellest. I.1.cEn déduire la différentielle totale de la fonctionf. I.2Déterminer la relation existant entre les quantitésetkpour que la fonctionfvérifie pour toutxet toutt, la relation où estune constante dont on déterminera les caractéristiques en fonction deetk. II. Etude de fonction On considère la fonctionh, à valeurs réelles, définie par II.1la formule de Taylor à lordre Rappelernvoisinage de auxo, pour une fonction quelconquef(x),nfois dérivable. II.2Calculer alors le développement limité deh(x) à lordre 1 au voisinage dexo=2. II.3.aOn définit alors une autre fonctiong(x)de la forme



Déterminer son intervalle de définition. Cette fonction est-elle paire ou impaire ? Pourquoi ? 

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