LM100 Méthodes de calculs et Statistiques Examen du juin durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Les exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté I Mathématiques I Matrice Soient les matrices

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Philippe Savoini

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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques 2007-2008 Examen du 17 juin 2008 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. I. Mathématiques I.1 Matrice Soient les matrices ? A = 1 2 5 3 ? ? ? ? ? ? et ? B = 4 2 2 1 ? ? ? ? ? ? et le vecteur ? r u = 3 1 ? ? ? ? ? ? . I.1.1 Calculer le produit matriciel ? A B ; appliquer la matrice A au vecteur ? r u . I.1.2 Etablir si les matrices A et B sont inversibles. Le cas échéant, calculer la matrice inverse correspondante. I.2 Système linéaire On considère le système suivant : ? x + y ? z =1 4x ? 3y + z = 2 3x ? 4y + 2z =1 ? ? ? ? ? 1.2.1 Ecrire la matrice de ce système. Calculer son déterminant. I.2.2 Le système admet-il zéro, une ou plusieurs solutions ? Le cas échéant, calculer la(les) solution(s).

table de la loi de poisson fournie en annexe

reporter dans le plan complexe

points d'inflexion éventuels

développement limité au voisinage de zéro

boîte

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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques 2007-2008Examen du 17 juin 2008 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté.I. Mathématiques I.1 Matrice " "1 2%"4 2%r3%A=B=u= Soient les matrices$'et$'et le vecteur$'. 5 32 11 #&#&#&r I.1.1Calculer le produit matricielAB; appliquer la matrice A au vecteuru. I.1.2Etablir si les matrices A et B sont inversibles. Le cas échéant, calculer la matrice inverse correspondante. I.2 Système linéaire On considère le système suivant : #x+y"z=1 %$4x"3y+z=2%&3x"4y+2z=1 1.2.1Ecrire la matrice de ce système. Calculer son déterminant. I.2.2 Lesystème admet-il zéro, une ou plusieurs solutions? Le cas échéant, calculer la(les) solution(s). I.3 Nombres complexes Soit le nombre complexez=2"2i. I.3.1le module et largument de Déterminerzexprimer puiszforme sous exponentielle. Représenterzdans le plan complexe. 2 I.3.2Calculer le nombrezet le reporter dans le plan complexe. 2 2 z=z=z I.3.3Trouver les nombres complexesz1etz2tels que1 2, puis les figurer dans le plan complexe. 1 / 4 (Pour les représentations dans le plan complexe on rappelle8!2.8 et(8)!1.7) I.4 Equation différentielleSoit léquation différentielle dordre deux suivante : 2 d ydy "3+2y=02 dt dt I.4.1Déterminer la solution générale de cette équation. I.4.2 Calculeralors la solution vérifiant les conditions initiales,y(t=0)=2 et dy (t=0)=0dt I.4.3Rappeler lexpression du développement de Taylor au voisinage detoà lordrendune fonctionf(t)définie etnfois dérivable surR.I.4.4En déduire le développement limité au voisinage de zéro (to=0) à lordre 2 de la solution déterminée au I.4.2.

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