LM100 Méthodes de calcul et statistiques

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Tire-bouchon Probabilité

LM100 Méthodes de calcul et statistiques 2004-2005 Examen du 16 juin 2005 Machine à calculer non graphique et non programmable autorisée. Tout document interdit. Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Rédigez les deux parties sur deux copies séparées Mathématiques I.Résoudre le système suivant : x+y=1  y+z=1  x−z=0  II.Soitaun nombre réel strictement positif. Soitfla fonction, à valeurs réelles, d'une variable 1a réelle non nulle, définie parf(x)= x+ . On désigne par G son graphe dans un plan 2x euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine O. 1. On se propose de tracer le graphe G et on établit dabord un certain nombre de propriétés de la fonctionf. 1.1fest-elle paire ou impaire ? en déduire une propriété du graphe G. 1.2 Calculerlimf(x) . x→0+ x 1.3 Montrer quelimf(x)=− 0+. Que peut-on en déduire pour G ? x→+∞ 2 1.4 Montrer que les deux seules solutions de léquationf(x)xsontaet−a. 1.5 Montrer que la restriction defà lintervalle ] 0, +∞[ présente un minimum ena. 1.6 Représenter sur la même figure les courbesy=xety=x/2 ainsi que le graphe G. 2. Soitx0 unnombre réel strictement positif fixé. On se propose de mettre en évidence une propriété de la suite de nombres u=x0 0 u=f(x) 1 0 u=f(f(x)) 2 0  si 2.1 Que valentu1,u2,.x0=a? 2.2 On suppose quea= 5 etx0= 3. Calculer les valeurs numériques deu1,u2,. avec 3 décimales. A quelle valeur est-il judicieux de stopper la série de calculs? Comparer le résultat obtenu avec5 calculéavec le même nombre de décimales. 2.3 En utilisant le graphe de la fonctionfen supposant etx>a, proposer une 0 interprétation au résultat obtenu en 2.2. 2a 3. Calculerf(x)dx. ∫ a

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