L'espace E R4 est muni de sa structure euclidienne canonique

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Laurent Llabres

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Niveau: Supérieur
Sujet 40 L'espace E = R4 est muni de sa structure euclidienne canonique. 1. On considere la matrice A = 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ?1 0 0 1 0 1 ?1 0 1 0 0 1 0 1 ? ? ? ?+ √ 2 ? ? ? ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ?1 1 ?1 1 1 ?1 ?1 ?1 1 ? ? ? ?+ √ 3 ? ? ? ? 0 ?1 0 ?1 1 0 ?1 0 0 1 0 1 1 0 ?1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? et on note f l'endomorphisme de E canoniquement associe a A. (a) Verifier que A est une matrice orthogonale. (b) Calculer son polynome caracteristique P et en donner une factorisation P = QR ou Q et R sont des polynomes unitaires de R[X] du second degre sans racines reelles. (c) Verifier que E = ker (Q (f))? ker (R (f)). (d) Donner la matrice de f dans une base orthonormale adaptee a la somme directe de la question precedente. En deduire une caracterisation geometrique des endomorphismes in- duits par f sur ker (Q (f)) et ker (R (f)).

d1 ?d1

p1 ?

matrice reelle diagonale par blocs semblable

?? v3

matrice orthogonale

a?nes de l'espace r3

repere orthonorme canonique

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Matrice orthogonale

Épreuve orale 2009

Mathématiques II - Filière PC

Épreuve orale de Mathématiques II - Filière PC

Exemples d’exercices proposés lors de la session 2009

Énoncé 1 PourAdeMn^Rh, on considère l’application{déﬁnie surMn^Rhpar {^Mh=A M-M A. 1. Danscette question on prend 3 J02- 20N K O 4 -1 4 0 K O A= 3 3 -25 0 K O - 53 -5 2 L P a) Donner les éléments propres deA. OnnotePune matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres. b) On noihla base canonique de4^ h. te^E,j^,h",,MR 2 i j!1 4 - 12 i. Calculerles matricesFi,j=P Ei,jPpour^i,jhde"1, 4,. ^ hpar . ii. Calculerles images desFi,j^jh!"1 4,{ 2 i, , Quepeut-on en conclure ? c) Retrouver ce résultat dans le cas général d’une matriceAdeMn^Rhdiagonalisable. 2. Danscette question on prend J810 17 -N K O 4 -4 -2 2 1 K O A= 3 1- 41 2 K O - 25 -2 -4 L P Est elle diagonalisable ? 4 Vériﬁer queA= 0. k Déterminer le plus petit des entiers naturelsktel que{soit l’endomorphisme nul.

Énoncé 2 n n PourAdeMn^RhetBdeR, on étudie le système linéaireA X=B, d’inconnueXdansR. n n Lorsque la diagonale deAne contient pas de termes nuls, pourUdeR, on déﬁnit par récurrence une suite de vecteurs deR, ^mh mm^ihpar0et, pour tout^ hde , ^Yhm!NavecY=y1GiGnY=Um,iN#"1,n, n 1 ^m+ 1h ^mh / yi=bi,i-ai,jyj e o ai,i j= 1 j!i t convergente, la limite est une solution de. 1. Montrerque si la suite^Ymhm!NesA X=B 2. Calculerles vingt premiers termes d’une telle suite lorsque R VR VR V - 12 3411 S WS WS W 2 34 521 S WS WS W A=,B=etU=, S WS WS W 3 45 612 S WS WS W 4 56 -721 T XT XT X An / puis recommencer avec unUde votre choix et une matriceAtelle que pour toutide"1,n,:ai,i2ai,j. j= 1 j!i - 1 (On pourra observer queXl=U^Xh oùU^Xh=D^B-^A-DhXh,Dla matrice diagonale étantdiag^a1,1,…,an,nh etpro-grammer une fonctionJqui prend en arguments une matrice carréeA, deux vecteursBetX(de tailles adaptées) et retourne le vecteurXl=J^A,B,Xhdéﬁni par la récurrence ci-dessus - c’est-à-direYm+ 1=J^A,B,Ymh-) er surpour qutem 3. Quellecondition peut-on imposAe la sui^Yhm!Nconverge quelle que soitU?

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