Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2004 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard
2
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Français
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2008
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le 17 Juin 2004 UTBM MT12 Arthur LANNUZEL
Examen final Printemps 2004
Chaque exercice sera r´dig´ sur une feuille diff´rente. Les e e e calculatrices sont interdites. Le seul document autoris´ est une feuille e A4 manuscrite.
Exercice 1 1) On consid`re le syst`me lin´aire suivant : e e e m.x+ (m − 1).y +(m + 1).z = a m.x +(m + 1).z = b (m − 1).y +(m + 1).z = c a Pour quels m a-t-on une solution quel que soit b ∈ R3 ? Expliquer. c 2) Grˆce ` un changement de variable, donner toutes les primitives de : a a e5x − 2.e4x − e3x + 2.e2x e4x − 1 3) D´terminer une ´quation diff´rentielle admettant e e e {ex + 1 + (C1 + C2 .x).e2x , C1 , C2 ∈ R} 4
comme ensemble de solutions. Expliquer.
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) Grˆce ` la d´finition de l’int´grale de Riemann, montrer que la suite (Sn )n∈N de terme a a e e g´n´ral e e k=n−1 n Sn = 2 + k2 n k=0 admet une limite lorsque n tend vers +∞ et calculer cette limite. Justifier.
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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) Soit l’application lin´aire donn´e dans la base canonique par e e fA : R3 −→ R3 x x y → A. y z z 2 3 −3 o` A = 3 1 −2 . u 3 2 −3 1) Trouver le polynˆme caract´ristique de fA . En d´duire ses valeurs propres. o e e 2) Trouver une base des sous-espaces propres. 3) Trouver une base B de R3 telle que T := MfA ,B En d´duire P telle que P.T.P −1 = A. e 4) R´soudre le syst`me diff´rentiel e e e y1 = 2.y1 +3.y2 −3.y3 + x y = 3.y1 +y2 −2.y3 + x 2 y3 = 3.y1 +2.y2 −3.y3 + x a 0 0 = 0 b 1 avec a, b ∈ R. 0 0 b
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