Les différentes questions peuvent être traitées de manière indépendante. Les deux parties doivent être traitées sur des copies différentes. Matériel autorisé: feuille aide mémoire A4 recto
Première partie (10 points)
1°) Calculer les intégrales suivantes: I=24xxIxd 1YZX11+3(x+1)−x2+2x+32=XYZ12x32++2x2++xxd 2°) On considère le domaine plan (D) défini par:TS0R0≤≤yx≤≤atxcrA1n. On fait tourner (D) autour de l'axe (Oy). Déterminer le volume du solide ainsi construit. 3°) Soit les fonctionsϕet g définies par:∀x∈R*+ϕ(x)=XZYx11ln+tdtt∀x∈R*+g(t)=1ln+.tt a) Calculerϕ' et dresser le tableau de variations deϕ. b) Remplissage du tableau de variations: Déterminer un équivalent en +∞de g(t), et en déduire la limite deϕen +∞. - - - - - - - - 0+ - - que - -de -ϕa une limite en 0+. c) En admettant que limϕ =0,82±0,01, terminer le x→0+ tableau de variations et tracer la courbe représentative deϕ. (On pourra librement utiliser la courbe représentative de la fonction g ci-contre).
4°)
Seconde partie (10 points + 3 points 4°) d) et e) )
x On considère la fonction f définie par∀x∈R f (x)=ce+12.hex
a) Calculerles primitives de f. Sur quels intervalles sont-elles définies ? b) Déterminer les primitives F1et F2 Ftelles que1(0)=e12Ft2(0)= −21. c) En déduire Iα=0αz puis sa limite quand ,f (x) dxαtend vers l'infini. Existe-t-il une valeur deαtelle que Iα= 0,2 ? Si oui, déterminer une valeur exacte deα. Questions un peu plus difficiles hors barème βz(∈R. d) CalculerJβ=x f x) dxen fonction dβe o e) Déterminelx→∞rim x3f (x) et→ − ∞xlim x3f (x). En déduire la convergence de l'inté−∞gz∞rxalfe(x) dx, puis les valeurs numériquesβ−zβx f dx x) puis−∞∞xz( βl→ ∞idme( f dx x)
5°) Sachant que la fonction y0= λe−2 x,λ ∈ solution de l'équation différentielle (ER esto) y' + 2y = 0, déterminer les solutions des équations différentielles: (E1) y'+2y=x+4 (E2) y'+2y=sin x 6°) Soit les équations différentielles:bEc1g+exy'h−y=e2 x−1 etbE01cg+exy'h−y=0 . a) Déterminer la solution générale yode (Eo = 0,5), puis la solution F vérifiant F(0) . b) Tracersommairement la courbe représentative de cette fonction F. c) Résoudre l'équation (E). Au royaume des aveugles, les borgnes sont rois.