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aiolos

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EXERCICE 1 2 0 0æ öæ - 5 6 3ö æ 1 0 0ö æ1 1 1 öç ÷1 ç ÷ ç ÷ ç ÷On donne les matrices : A = - 3 4 3 , I = 0 1 0 , D = 0 -1 0 et P = 1 0 1 . ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷- 3 6 1 0 0 1 1 1 -1Ł ł Ł ł 0 0 -1 Ł łŁ łPartie A -1æ öæ 1 ö ç 2 ÷ç ÷-1 ç ÷1. Montrer que la matrice P est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que P 0 = 1 . ç ÷ç ÷ç ÷ 1ç ÷0Ł ł Ł 2 łn2. (a) Donner D en fonction de n pour tout entier naturel n. 1æ öç ÷n -1 (b) En déduire l'expression de D P 0 en fonction de n. ç ÷ç ÷0Ł ł-1 n n -13. (a) Vérifier que A = PDP puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : A = PD P . 1æ öç ÷n(b) En déduire l’expression de A 0 en fonction de n pour tout entier naturel n. ç ÷ç ÷0Ł ł Partie B Les suites ( x ), ( y ) et ( z ) sont définies par les conditions initiales x = 1, y = 1 et z = 0 n n n 0 005 3ì x = - x + 3y + z - 3n +1 n n nï 2 2ï 3 3et par les égalités : pour tout entier naturel n. y = - x + 2y + z - 1í n +1 n n n2 2ï3 1ï z = - x + 3y + z - 3n +1 n n nî 2 2æ öæ - 3ö xnç ÷ç ÷On pose B = -1 et pour tout entier naturel n : X = ç y ÷ . ç ÷ n nç ÷ç ÷- 3 zŁ ł Ł n ł 1. Justifier pour tout entier naturel n l’égalité : X = AX + B relation (1) n +1 n 2. On se propose de trouver la matrice colonne U ˛ (IR) telle que : U = AU + B relation (2) 3,1 (a) Montrer que la relation (2) équivaut à (I - A)U = B . 0æ öç ÷ (b) Calculer la matrice A(I - A) . En déduire ...

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EXERCICE 1

On donne les matrices :

















































Partie A

1. Montrer que la matrice

est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que

























(a) Donner

en fonction de

pour tout entier naturel

(b) En déduire l'expression de













en fonction de

(a) Vérifier que

PDP

puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel

(b) En déduire l’expression de













en fonction de

pour tout entier naturel

Partie B

Les suites (

), (

) et (

) sont définies par les conditions initiales

par les égalités :











pour tout entier naturel

On pose













et pour tout entier naturel













Justifier pour tout entier naturel

l’égalité :

relation (1)

On se propose de trouver la matrice colonne

)

(

∈

telle que :

relation (2)

(a)

Montrer que la relation

(2)

équivaut à

)

(

(b)

Calculer la matrice

)

(

. En déduire que :

puis , que













(a)

A l’aide de s relations

(1)

(2)

, montrer que :

)

(

(b)

En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel

on a

)

(

4. En utilisant l’expression obtenue dans la

partie A

, question 3(b) , calculer

, en fonction de

Voir